So erstellen Sie eine apollonische Dichtung: 10 Schritte (mit Bildern)

Eine apollonische Dichtung ist eine Art fraktal Bild, das aus einer Sammlung von immer schrumpfenden Kreisen gebildet wird, die in einem einzigen großen Kreis enthalten ist. Jeder Kreis in der apollonischen Dichtung ist Tangente An den benachbarten Kreisen - Mit anderen Worten, die Kreise in der apollonischen Dichtung treten an unendlich kleinen Punkten Kontakt auf. Benannt nach dem griechischen Mathematiker Apollonius von Perga, kann diese Art von Fractal (von Hand oder von Computer) in angemessener Grad an Komplexität gezogen werden, um ein schönes, auffälliges Bild zu bilden. Siehe Schritt 1 unten, um loszulegen.

Schritte

Teil 1 von 2:

Schlüsselkonzepte verstehen

Vollkommen klar sein, wenn Sie einfach interessiert sind Zeichnung Eine apollonische Dichtung, es ist nicht wesentlich, die mathematischen Prinzipien hinter dem Fraktal zu erforschen. Wenn Sie jedoch ein tieferes Verständnis von apollonischen Dichtungen wünschen, ist es wichtig, die Definitionen mehrerer Konzepte zu verstehen, die wir beim Diskussionen verwenden werden.

1. Schlüsselbedingungen definieren. Die folgenden Bedingungen werden in den folgenden Anweisungen verwendet:

Apollonische Dichtung: Einer von mehreren Namen für eine Art von Fraktal, die aus einer Reihe von Kreisen besteht, die in einem großen Kreis und Tangent an alle anderen in der Nähe verschachtelt werden. Diese werden auch aufgerufen "Soddruckkreise" oder "Kreiskreise küssen".
Radius eines Kreises: Der Abstand vom Mittelpunkt eines Kreises an der Kante. Normalerweise die Variable zugewiesen R.
Krümmung eines Kreises: das positive oder negative Umkehrung des Radius oder ± 1 / r. Krümmung ist positiv, wenn Sie mit der äußeren Krümmung des Kreises umgehen und für die innere Krümmung negativ sind.
Tangent: ein Begriff, der auf Linien, Flugzeuge und Formen angewendet wird, die sich an einem unendlich kleinen Punkt kreuzen. In apollonischen Dichtungen bezieht sich dies auf die Tatsache, dass jeder Kreis nur an einem Punkt in der Nähe berührt. Beachten Sie, dass es keine Kreuzung gibt - tangente Formen überlappen nicht.

Bildtitel Erstellen Sie eine apollonische Dichtung Step 2

2. Verstehe Descartes`s Theorem.Descartes`s Theorem ist eine Formel, die für die Berechnung der Größen der Kreise in einer apollonischen Dichtung nützlich ist. Wenn wir die Krümmungen (1 / R) von drei Kreisen als definieren, wie ein, B, und C, Jeweils der Satz besagt, dass die Krümmung des Kreises (oder Kreise) Tangente an alle drei, die wir als definieren D, ist: D = A + B + C ± 2 (SQRT (A × B + B × C + C × A)).

Für unsere Zwecke verwenden wir in der Regel die Antwort, die wir erhalten, indem wir ein Pluszeichen vor der Quadratwurzel einsetzen (mit anderen Worten), ... + 2 (sqrt (...)). Für den Moment ist es genug, um zu wissen, dass die Subtraktionsform der Gleichung in anderen verwandten Aufgaben verwendet wird.

Teil 2 von 2:

Bau der apollonischen Dichtung

Apollonische Dichtungen nehmen die Form schöner Fraktalarrangements von schrumpfenden Kreisen aus. Matmematisch, apollonische Dichtungen haben unendliche Komplexität, aber egal ob Sie ein Computerzeichnungsprogramm oder traditionelle Zeichnungswerkzeuge verwenden, werden Sie schließlich einen Punkt erreichen, an dem es unmöglich ist, Kreise zu zeichnen. Beachten Sie, dass desto genauer Sie Ihre Kreise ziehen, desto mehr können Sie in Ihre Dichtung passen.

1. Sammeln Sie Ihre digitalen oder analogen Zeichnungswerkzeuge. In den folgenden Schritten machen wir unsere eigene einfache apollonische Dichtung. Es ist möglich, apollonische Dichtungen von Hand oder auf dem Computer zu zeichnen. In beiden Fällen möchten Sie in der Lage sein, vollkommen runde Kreise zu ziehen. Das ist ziemlich wichtig. Da jeder Kreis in einer apollonischen Dichtung vollkommen tangentiert, tangtagen daneben zu den Kreiskreisen, die sogar leicht misshandeln können "abwerfen" Ihr Endprodukt.

Wenn Sie die Dichtung auf einem Computer ziehen, benötigen Sie ein Programm, mit dem Sie einfach Kreise eines festen Radius von einem zentralen Punkt ziehen können. GFIG, eine Vektorzeichnungsverlängerung für das kostenlose Bildbearbeitungsprogramm GIMP, kann genutzt werden, ebenso wie eine Vielzahl anderer Zeichenprogramme (siehe den Materialabschnitt für relevante Links). Sie benötigen wahrscheinlich wahrscheinlich eine Taschenrechneranwendung und entweder ein Word-Prozessor-Dokument oder einen physischen Notizblock, um sich mit Krümmungen und Radien zu nimmt.
Um die Dichtung von Hand zu zeichnen, benötigen Sie einen Taschenrechner (wissenschaftlich oder vorgeschlagene Grafik), einen Bleistift, Kompass, Lineal (vorzugsweise eine Skala mit Millimetermarkierungen, Diagrammpapier und einem Notizblock für Note.

Bildtitel Erstellen Sie eine apollonische Dichtung STEP 4

2. Beginnen Sie mit einem großen Kreis. Ihre erste Aufgabe ist einfach - zeichnen Sie einfach einen großen, vollkommen runden Kreis. Je größer der Kreis ist, desto komplexer, desto komplexer, dass Ihre Dichtung sein kann, versuchen Sie also, einen Kreis so groß zu machen, wie Ihr Papier zulässt oder so groß ist, wie Sie in einem Fenster in einem Fenster in Ihrem Zeichenprogramm leicht sehen können.

Bildtitel Erstellen Sie eine apollonische Dichtung Step 5

3. Erstellen Sie einen kleineren Kreis innerhalb des Originals, Tangent an einer Seite. Zeichnen Sie als nächstes einen anderen Kreis in das erste, das kleiner ist als das Original, aber immer noch ziemlich groß. Die genaue Größe des zweiten Kreises liegt an Ihnen - es gibt keine richtige Größe. Für unsere Zwecke zeichnen wir jedoch unseren zweiten Kreis, damit er genau auf halbem Weg auf unserem großen äußeren Kreis erreicht. Mit anderen Worten, lass uns unseren zweiten Kreis anziehen, so dass sein zentraler Punkt der Mittelpunkt des Radius des großen Kreises ist.

Denken Sie daran, dass in apollonischen Dichtungen alle Kreise, die sich berühren, tangential. Wenn Sie einen Kompass verwenden, um Ihre Kreise von Hand zu zeichnen, erstellen Sie diesen Effekt, indem Sie den scharfen Punkt des Kompasses auf den Mittelpunkt des großen äußeren Kreisradius einstellen, und Ihren Bleistift so einstellen, dass es so ist gerade berührt den Rand des großen Kreises und zeichnet dann Ihren kleineren inneren Kreis.

Bildtitel Erstellen Sie eine apollonische Dichtung Step 6

4. Zeichnen Sie einen identischen Kreis "gegenüber von" der kleinere Innenkreis. Als nächstes zeichnen wir einen anderen Kreis von unserem ersten. Dieser Kreis sollte sowohl für den großen äußeren Kreis als auch für den kleineren inneren Kreis tangential sein, was bedeutet, dass Ihre beiden inneren Kreise mit dem genauen Mittelpunkt des großen äußeren Kreises berühren werden.

Bildtitel Erstellen Sie eine apollonische Dichtung. Schritt 7

5. Tragen Sie Descartes`s Theorem auf, um die Größe Ihrer nächsten Kreise zu ermitteln. Lass uns aufhören, einen Moment zu zeichnen. Nun, da wir drei Kreise in unserer Dichtung haben, können wir Descartes`s Theorem verwenden, um den Radius des nächsten Kreises zu finden, den wir ziehen. Denken Sie daran, dass Descartes`s Theorem ist D = A + B + C ± 2 (SQRT (A × B + B × C + C × A)), Wo A, B und C sind die Krümmungen Ihrer drei Tangentenkreise und D ist die Krümmung des Kreises an alle drei. Um den Radius unseres nächsten Kreises zu finden, finden wir die Krümmung jeder der Kreise, die wir bisher haben, damit wir die Krümmung des nächsten Kreises finden können, um dieses dann in seinen Radius umzuwandeln.

Lassen Sie uns den Radius unseres äußeren Kreises als definieren 1. Weil sich die anderen Kreise in diesem befindet, beschäftigen wir uns mit seiner Innere Krümmung (anstelle der äußeren Krümmung), und folglich wissen wir, dass seine Krümmung negativ ist. - 1 / r = -1/1 = -1. Die Krümmung des großen Kreises ist -1.

Die kleineren Kreise radii sind halb so groß wie der große Kreis oder mit anderen Worten, 1/2. Da diese Kreise einander und den großen Kreis mit ihrer Außenkante berühren, beschäftigen wir uns mit ihrem Außen Krümmung, so dass ihre Krümmungen positiv sind. 1 / (1/2) = 2. Die Krümmungen der kleineren Kreise sind beide 2.

Nun wissen wir, dass A = -1, B = 2 und C = 2 für unsere Theorem-Gleichung der Descartes. Lass uns für d lösen:

D = A + B + C ± 2 (SQRT (A × B + B × C + C × A))

d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))

d = -1 + 2 + 2 ± 2 (SQRT (-2 + 4 + -2))

d = -1 + 2 + 2 ± 0

d = -1 + 2 + 2

d = 3. Die Krümmung unseres nächsten Kreises ist 3. Seit 3 = 1 / R ist der Radius unseres nächsten Kreises 1/3.

Bildtitel Erstellen Sie eine apollonische Dichtung. Schritt 8

6. Erstellen Sie Ihren nächsten Kreisset. Verwenden Sie den Radiuswert, den Sie gerade gefunden haben, um Ihre nächsten beiden Kreise zu zeichnen. Denken Sie daran, dass diese zu den Kreisen tangential sein, deren Krümmungen Sie für A, B und C in Descartes theorem verwendet haben. Mit anderen Worten, sie werden sowohl für die ursprünglichen als auch für die zweite Kreise tangential. Damit diese Kreise an alle drei Kreise tangential sein müssen, müssen Sie sie in den offenen Räumen oben und unten in den Bereich in Ihrem großen ursprünglichen Kreis zeichnen.

Denken Sie daran, dass diese Kreise radii gleich 1/3 sein werden. Messen Sie 1/3 zurück von der Kante des äußeren Kreises und zeichnen Sie dann Ihren neuen Kreis. Es sollte an alle drei der umgebenden Kreise tangential sein.

Bildtitel Erstellen Sie eine apollonische Dichtung von Schritt 9

7. Führen Sie auf diese Weise weiter, um weitere Kreise hinzuzufügen. Weil sie fraktale sind, sind apollonische dichtungen unendlich komplex. Dies bedeutet, dass Sie den Inhalt Ihres Herzens kleinere und kleinere Kreise hinzufügen können. Sie sind nur die Präzision Ihrer Tools (oder wenn Sie einen Computer verwenden, die Fähigkeit Ihres Zeichenprogramms an "hineinzoomen"). Jeder Kreis, egal wie klein, sollte sich an drei andere Kreise tangieren. Um jeden nachfolgenden Kreis in Ihrer Dichtung zu zeichnen, stecken Sie die Krümmungen der drei Kreise an, es ist tangential zu dem Theorem von Descartes. Verwenden Sie dann Ihre Antwort (die der Radius Ihres neuen Kreises ist), um Ihren neuen Kreis genau zu zeichnen.

Beachten Sie, dass die entschiedene Dichtung symmetrisch ist, so dass der Radius eines Kreises derselbe wie der entsprechende Kreis ist "gegenüber davon". Weiß jedoch, dass nicht jede apollonische Dichtung symmetrisch ist.

Lass uns ein weiteres Beispiel angehen. Sagen wir, dass wir nach dem Zeichnen unseres letzten Kreisens nun die Kreise zeichnen möchten, die sich an unserem dritten Satz, unser zweites Set, und unseren großen äußeren Kreis titten. Die Krümmungen dieser Kreise sind 3, 2 und -1 bzw. -1. Schließen wir diese Zahlen in Descartes-Satz an, setzen wir a = -1, b = 2 und c = 3:

D = A + B + C ± 2 (SQRT (A × B + B × C + C × A))

d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))

d = -1 + 2 + 3 ± 2 (SQRT (-2 + 6 + -3))

d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (1))

d = -1 + 2 + 3 ± 2

d = 2, 6. Wir haben zwei Antworten! Da wir jedoch wissen, dass unser neuer Kreis kleiner ist als alle Kreise, die er tangential ist, ist nur eine Krümmung von 6 (und daher ein Radius von 1/6) macht Sinn.

Unsere andere Antwort, 2, bezieht sich tatsächlich auf den hypothetischen Kreis auf der Andere Seite des Tangentenpunkts unserer zweiten und dritten Kreise. Dieser Kreis ist Tangente an diese beiden Kreise und dem großen äußeren Kreis, aber es würde die Kreise kreuzen, die wir bereits gezogen haben, also können wir es ignorieren.

Bildtitel Erstellen Sie einen apollonischen Dichtungsschritt 10

8. Versuchen Sie, um eine nicht symmetrische apollonische Dichtung zu machen, indem Sie die Größe Ihres zweiten Kreises ändern. Alle apollonischen Dichtungen beginnen gleich - mit einem großen Außenkreis, der als Rand des Fraktums dient. Es gibt jedoch keinen Grund, dass Ihr zweiter Kreis unbedingt erforderlich ist hast um 1/2 der Radius des ersten zu haben - wir haben uns nur entschieden, dies zu tun, weil es einfach und leicht verständlich ist. Zum Spaß versuchen Sie, eine neue Dichtung mit einem zweiten Kreis einer anderen Größe zu beginnen - dies führt zu aufregenden neuen Erkundungslenken.

Nach dem Zeichnen Ihres zweiten Kreises (unabhängig von seiner Größe) sollte Ihre nächste Akte darin bestehen, ein oder mehrere Kreise zu zeichnen, die sowohl dabei als auch an den großen äußeren Kreis tangential sind. Es gibt auch keinen richtigen Weg, dies zu tun. Danach können Sie den Theorem des Descartes verwenden, um den Radii jeder nachfolgenden Kreise zu ermitteln, wie oben gezeigt.

So erstellen sie eine apollonische dichtung

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