So finden Sie die Domäne und den Bereich einer Funktion: 14 Schritte

Jede Funktion enthält zwei Arten von Variablen: unabhängige Variablen und abhängige Variablen, deren Werte wörtlich "auf den unabhängigen Variablen" abhängen ". Zum Beispiel in der Funktion y Hat F(X) = 2X + y, X ist unabhängig und y ist abhängig (mit anderen Worten, y ist eine Funktion von X). Die gültigen Werte für eine bestimmte unabhängige Variable X werden gemeinsam die "Domäne" genannt."Die gültigen Werte für eine gegebene abhängige Variable y werden kollektiv als "Reichweite" genannt."

Schritte

Teil 1 von 3:

Finden der Domäne einer Funktion

1. Bestimmen Sie die Art der Funktion, mit der Sie arbeiten. Die Domäne der Funktion ist alle X-Werte (horizontale Achse), die Ihnen einen gültigen Y-Wert-Ausgang erhalten. Die Funktionsgleichung kann quadratisch, eine Fraktion sein oder Wurzeln enthalten. Um die Domäne der Funktion zu berechnen, müssen Sie zunächst die Bedingungen innerhalb der Gleichung auswerten.

Eine quadratische Funktion hat die Form AX + BX + C: F (x) = 2x + 3x + 4
Beispiele für Funktionen mit Fraktionen umfassen: f (x) = (/_X), f (x) = /_{(x - 1)}, usw.
Funktionen mit einer Wurzel umfassen: f (x) = √x, f (x) = √ (x + 1), f (x) = √-x usw.

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2. Schreiben Sie die Domain mit ordnungsgemäßer Notation. Das Schreiben der Domäne einer Funktion beinhaltet die Verwendung beider Klammern [,] und Klammern (,). Sie verwenden eine Halterung, wenn die Nummer in der Domäne enthalten ist, und verwenden Sie eine Klammer, wenn die Domäne nicht die Anzahl enthält. Der Buchstabe U zeigt eine Union an, die Teile einer Domäne verbindet, die durch eine Lücke getrennt werden kann.

Zum Beispiel eine Domäne von [-2, 10) u (10, 2] Enthält -2 und 2, enthält jedoch keine Nummer 10.

Verwenden Sie immer Klammern, wenn Sie ein Infinity-Symbol verwenden, ∞. Dies liegt daran, dass Unendlichkeit ein Konzept und keine Zahl ist.

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3. Zeichnen Sie eine Grafik der quadratischen Gleichung. Quadratische Gleichungen machen ein parabolisches Diagramm, das entweder nach oben oder unten zeigt. Da der Parabola auf der X-Achse unendlich nach außen fortgesetzt wird, ist der Bereich der meisten quadratischen Funktion alle echten Zahlen. Eine andere Möglichkeit, eine quadratische Gleichung umfasst alle X-Werte in der Zahlenzeile, wodurch seine Domäne erstellt wird R (das Symbol für alle realen Zahlen).

Um eine Vorstellung von der Funktion zu erhalten, wählen Sie einen beliebigen X-Wert und stecken Sie es in die Funktion an. Die Lösung der Funktion mit diesem X-Wert gibt einen Y-Wert aus. Diese X- und Y-Werte sind eine Koordinate (x, y) des Graphen der Funktion.

Planen Sie diese Koordinate und wiederholen Sie den Prozess mit einem anderen X-Wert.

Das Plotten einiger Werte auf diese Weise sollte Ihnen eine allgemeine Idee der Form der quadratischen Funktion geben.

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4. Stellen Sie den Nenner gleich Null, wenn es ein Bruchteil ist. Wenn Sie mit einem Fraktion arbeiten, können Sie niemals mit Null teilen. Wenn Sie den Nenner einstellen, gleich Null und Lösung für X, können Sie die Werte berechnen, die in der Funktion ausgeschlossen sind.

Zum Beispiel: Identifizieren Sie die Domäne der Funktion f (x) = /_{(x - 1)}.

Der Nenner dieser Funktion ist (x - 1).

Setzen Sie es gleich Null und lösen Sie für x: x - 1 = 0, x = 1.

Schreiben Sie die Domäne: Die Domäne dieser Funktion kann nicht 1 enthalten, enthält jedoch alle echten Zahlen außer 1- Daher ist die Domäne (-∞, 1) u (1, ∞).

(-∞, 1) u (1, ∞) kann als Set aller echten Zahlen ausgeschlossen werden, ohne dass 1.Das Infinity-Symbol ∞ repräsentiert alle realen Zahlen. In diesem Fall sind alle echten Zahlen größer als 1 und weniger als eine in der Domäne enthalten.

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5. Stellen Sie die Begriffe in den Rest ein, um größer oder gleich Null zu sein, wenn es eine Wurzelfunktion gibt. Sie können die Quadratwurzel einer negativen Zahl nicht annehmen - daher muss jeder x-Wert, der zu einer negativen Zahl führt, von der Domäne dieser Funktion ausgeschlossen werden.

Zum Beispiel: Identifizieren Sie die Domäne der Funktion f (x) = √ (x + 3).

Die Begriffe innerhalb des Radikals sind (x + 3).

Stellen Sie sie größer oder gleich Null ein: (x + 3) ≥ 0.

Lösung für x: x ≥ -3.

Die Domäne dieser Funktion umfasst alle echten Zahlen, die größer oder gleich -3-3-3-3, ist daher [-3, ∞).

Teil 2 von 3:

Finden des Bereichs einer quadratischen Funktion

1. Bestätigen Sie, dass Sie eine quadratische Funktion haben. Eine quadratische Funktion hat die Form AX + BX + C: F (x) = 2x + 3x + 4. Die Form einer quadratischen Funktion auf einem Graphen ist Parabola, das auf oder ab zeigt. Es gibt verschiedene Methoden zur Berechnung des Bereichs einer Funktion in Abhängigkeit von dem Typ, mit dem Sie arbeiten.

Der einfachste Weg, um den Bereich anderer Funktionen zu identifizieren, z. B. Wurzel- und Fraktionsfunktionen, besteht darin, den Diagramm der Funktion mit einem Grafikrechner zu zeichnen.

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2. Finden Sie den X-Wert des Scheitelpunkts der Funktion. Der Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion ist die Spitze der Parabola. Denken Sie daran, dass eine quadratische Gleichung der Form AX + BX + C ist. Um die X-Koordinate zu finden, verwenden Sie die Gleichung x = -b / 2a. Diese Gleichung ist ein Derivat der grundlegenden quadratischen Funktion, der die Gleichung mit einer Nullsteigung darstellt (am Scheitelpunkt des Graphen, die Steigung der Funktion Null ist).

Finden Sie zum Beispiel den Bereich von 3x + 6x -2.

Berechnen Sie X-Koordinate von Scheitelpunkt: x = -b / 2a = -6 / (2 * 3) = -1

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3. Berechnen Sie den Y-Wert des Scheitelpunkts der Funktion. Stecken Sie die X-Koordinate in die Funktion, um den entsprechenden Y-Wert des Scheitelpunkts zu berechnen. Dieser y-Wert bezeichnet den Rand Ihres Sortiments für die Funktion.

Y-Koordinate berechnen: y = 3x + 6x - 2 = 3 (-1) + 6 (-1) -2 = -5.

Der Scheitelpunkt dieser Funktion beträgt (-1, -5).

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4. Bestimmen Sie die Richtung der Parabola, indem Sie mindestens einen weiteren X-Wert einstecken. Wählen Sie einen anderen X-Wert aus und stecken Sie ihn in die Funktion, um den entsprechenden Y-Wert zu berechnen. Wenn der Y-Wert über dem Scheitelpunkt liegt, fährt die Parabola fort + ∞. Wenn der Y-Wert unter dem Scheitelpunkt liegt, fährt die Parabola weiter an -∞.

Verwenden Sie den X-Wert -2: y = 3x + 6x - 2 = y = 3 (-2) + 6 (-2) - 2 = 12 -12 -2 = -2.

Dies ergibt die Koordinate (-2, -2).

Diese Koordinate sagt Ihnen, dass der Parabola über dem Scheitelpunkt (-1, -5) fortgesetzt wird. Daher umfasst der Bereich alle y-Werte über -5.

Der Bereich dieser Funktion ist [-5, ∞)

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5. Schreiben Sie den Bereich mit der richtigen Notation. Wie die Domäne wird der Bereich mit derselben Notation geschrieben. Verwenden Sie eine Halterung, wenn die Nummer in der Domäne enthalten ist, und verwenden Sie eine Klammer, wenn die Domäne nicht die Anzahl enthält. Der Buchstabe U zeigt eine Union an, die Teile einer Domäne verbindet, die durch eine Lücke getrennt werden kann.

Zum Beispiel ein Bereich von [-2, 10) u (10, 2] Enthält -2 und 2, enthält jedoch keine Nummer 10.

Verwenden Sie immer Klammern, wenn Sie ein Infinity-Symbol verwenden, ∞.

Teil 3 von 3:

Finden des Bereichs einer funktionsgrafischen Funktion

1. Grafik die Funktion. Oft ist es am einfachsten, den Bereich einer Funktion zu bestimmen, indem Sie es einfach darstellen. Viele Wurzelfunktionen verfügen über einen Bereich von (-∞, 0] oder [0, + ∞), da sich der Scheitelpunkt der seitlichen Parabola auf der horizontalen X-Achse befindet. In diesem Fall umfasst die Funktion alle positiven Y-Werte, wenn die Parabola steigt, oder alle negativen Y-Werte, wenn die Parabola untergeht. Fraktionsfunktionen haben Asymptotes, die den Bereich definieren.

Einige Wurzelfunktionen starten über oder unter der X-Achse. In diesem Fall wird der Bereich von dem Punkt bestimmt, den die Wurzelfunktion beginnt. Wenn die Parabola bei y = -4 beginnt und steigt, ist der Bereich [-4, + ∞).
Der einfachste Weg, um eine Funktion zu drafieren, besteht darin, ein Grafikprogramm oder einen Grafikrechner zu verwenden.
Wenn Sie keinen Grafikrechner haben, können Sie eine grobe Skizze eines Diagramms zeichnen, indem Sie X-Werte in die Funktion einstecken und die entsprechenden Y-Werte erhalten. Planen Sie diese Koordinaten in der Grafik, um eine Vorstellung von der Form der Grafik zu erhalten.

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2. Finden Sie das Minimum der Funktion. Nachdem Sie die Funktion Grafiken geführt haben, sollten Sie in der Lage sein, den niedrigsten Punkt der Grafik deutlich zu sehen. Wenn es kein offensichtliches Minimum gibt, wissen Sie, dass einige Funktionen auf -∞ fortgesetzt werden.

Eine Fraktionsfunktion enthält alle Punkte außer denen bei der Asymptote. Sie haben oft Bereiche wie (-∞, 6) u (6, ∞).

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3. Bestimmen Sie das Maximum der Funktion. Nach der Grafik sollten Sie erneut den maximalen Punkt der Funktion identifizieren können. Einige Funktionen werden weiter auf + ∞ fortgesetzt und ist daher nicht maximal.

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4. Schreiben Sie den Bereich mit der richtigen Notation. Wie die Domäne wird der Bereich mit derselben Notation geschrieben. Verwenden Sie eine Halterung, wenn die Nummer in der Domäne enthalten ist, und verwenden Sie eine Klammer, wenn die Domäne nicht die Anzahl enthält. Der Buchstabe U zeigt eine Union an, die Teile einer Domäne verbindet, die durch eine Lücke getrennt werden kann.

Zum Beispiel ein Bereich von [-2, 10) u (10, 2] Enthält -2 und 2, enthält jedoch keine Nummer 10.

Verwenden Sie immer Klammern, wenn Sie ein Infinity-Symbol verwenden, ∞.