Wie differenzieren Sie exponentielle Funktionen

Exponentielle Funktionen sind eine spezielle Kategorie von Funktionen, die Exponenten beinhalten, die Variablen oder Funktionen sind. Mit einigen der Grundregeln des Kalküls können Sie beginnen, indem Sie die Ableitung einer grundlegenden Funktionen finden $ein X$ $a ^ {x}$ . Dies bietet dann ein Formular, das Sie für einen beliebigen numerischen Base verwenden können, der auf einen variablen Exponenten angehoben wird. Erweitern Sie diese Arbeit, können Sie auch die Ableitung von Funktionen finden, in denen der Exponent selbst eine Funktion ist. Schließlich sehen Sie, wie Sie den "Power Tower", eine spezielle Funktion, in der der Exponenten mit der Basis übereinstimmt.

Schritte

Teil 1 von 4:

Differenzieren allgemeiner exponentiellen Funktionen

1. Beginnen Sie mit einer allgemeinen exponentiellen Funktion. Beginnen Sie mit einer grundlegenden exponentiellen Funktion mit einer Variablen als Basis. Durch die Berechnung der Ableitung der allgemeinen Funktion auf diese Weise können Sie die Lösung als Modell für eine volle Familie ähnlicher Funktionen verwenden.

$y Hat ein X$ $y = a ^ {{x}}$

2. Nehmen Sie den natürlichen Logarithmus beider Seiten. Sie müssen die Funktion manipulieren, um ein Standardderivat in Bezug auf die Variable zu finden

X

$X$ . Dies beginnt mit dem natürlichen Logarithmus beider Seiten wie folgt:

\ln y Hat \ln ein X

$ln y = ln a ^ {{x}}$

3. Beseitigen Sie den Exponenten. Mit den Regeln der Logarithmen kann diese Gleichung vereinfacht werden, um den Exponenten zu beseitigen. Der Exponenten innerhalb der Logarithmus-Funktion kann wie folgt als mehrere vor dem Logarithmus entfernt werden:

\ln y Hat X \ln ein

$ln y = x ln a$

4. Differenzieren Sie beide Seiten und vereinfachen Sie. Der nächste Schritt ist, jede Seite in Bezug auf zu unterscheiden

X

$X$ . weil

ein

$ein$ ist eine konstante, dann

\ln ein

$ln A$ ist auch eine konstante. Das Derivat von

X

$X$ vereinfacht auf 1, und der Begriff verschwindet. Die Schritte sind wie folgt:

\ln y Hat X \ln ein

$ln y = x ln a$

D D X \ln y Hat D D X X \ln ein

${ frac {d} {dx}} ln y = { frac {d} {dx}} x ln a$

\frac{1}{y} D y D X Hat \ln ein D D X X

${ frac {1} {y}} { frac {dy} {dx}} = ln a { frac {d} {dx}} x$

\frac{1}{y} D y D X Hat \ln ein * 1

${ frac {1} {y}} { frac {dy} {dx}} = ln a * 1$

\frac{1}{y} D y D X Hat \ln ein

${ frac {1} {y}} { frac {dy} {dx}} = ln a$

5. Vereinfachen, um für das Derivat zu lösen. Multiplizieren Sie beide Seiten mit y, um das Derivat zu isolieren. Verwenden von grundlegenden Schritten der Algebra, multiplizieren Sie beide Seiten dieser Gleichung durch

y

$y$ . Dies wird das Derivat von isolieren

y

$y$ Auf der linken Seite der Gleichung. Dann erinnern Sie sich an das

y Hat ein X

$y = a ^ {x}$ , Also ersetzen Sie diesen Wert auf der rechten Seite der Gleichung. Die Schritte sehen so aus:

\frac{1}{y} D y D X Hat \ln ein

${ frac {1} {y}} { frac {dy} {dx}} = ln a$

D y D X Hat y \ln ein

${ frac {dy} {dx}} = y ln a$

D y D X Hat {ein}^{X} \ln ein

${ frac {dy} {dx}} = a ^ {x} ln a$

6. Interpretieren Sie das Endergebnis. Erinnern Sie sich daran, dass die ursprüngliche Funktion die exponentielle Funktion war

y Hat ein X

$y = a ^ {x}$ , Diese Lösung zeigt, dass das Derivat der allgemeinen exponentiellen Funktion ist

ein X \ln ein

$a ^ {x} ln a$ .

Dies kann für einen beliebigen Wert von erweitert werden

ein

$ein$ , Wie in den folgenden Beispielen:

D D X 2^{X} Hat 2^{X} \ln 2

${ frac {d} {dx}} 2 ^ {x} = 2 ^ {x} ln 2$

D D X 3^{X} Hat 3^{X} \ln 3

${ frac {d} {dx}} 3 ^ {x} = 3 ^ {x} ln 3$

D D X 10^{X} Hat 10^{X} \ln 10

${ frac {d} {dx}} 10 ^ {x} = 10 ^ {x} ln 10$

Teil 2 von 4:

Verlängerung des Nachweiss für das Derivat von E

1. Wählen Sie das spezielle Beispiel. Der vorherige Abschnitt zeigte, wie der allgemeine Fall einer exponentiellen Funktion mit jeder Konstanten als Basis differenziert wird. Wählen Sie anschließend den Sonderfall, in dem die Basis die Exponentialkonstante ist

E

$E$ .

$E$ $E$ ist die mathematische Konstante, die ungefähr gleich 2 ist.718.
Für diese Ableitung wählen Sie die Sonderfunktion aus $y Hat E X$ $y = e ^ {x}$ .

2. Verwenden Sie den Nachweis des allgemeinen exponentiellen Funktion derivativ. Rückruf, aus dem vorherigen Abschnitt, dass das Derivat einer allgemeinen exponentiellen Funktion

ein X

$a ^ {x}$ ist

ein X \ln ein

$a ^ {x} ln a$ . Dieses Ergebnis an die spezielle Funktion anwenden

E X

$e ^ {x}$ wie folgt:

y Hat E X

$y = e ^ {x}$

D y D X Hat D D X E^{X}

${ frac {dy} {dx}} = { frac {d} {dx} ^ {x}$

D y D X Hat E^{X} \ln E

${ frac {dy} {dx}} = e ^ {x} ln e$

3. Das Ergebnis vereinfachen. Erinnern Sie sich daran, dass der natürliche Logarithmus auf der Sonderkonstante basiert

E

$E$ . Daher der natürliche Logarithmus von

E

$E$ ist nur 1. Dies vereinfacht das abgeleitete Derivatergebnis wie folgt:

D y D X Hat E^{X} \ln E

${ frac {dy} {dx}} = e ^ {x} ln e$

D y D X Hat E^{X} * 1

${ frac {dy} {dx}} = e ^ {x} * 1$

D y D X Hat E^{X}

${ frac {dy} {dx}} = e ^ {x}$

4. Interpretieren Sie das Endergebnis. Dieser Beweis führt zum Sonderfall, dass die Ableitung der Funktion

E X

$e ^ {x}$ Ist das sehr funktioniert?. So:

D D X E^{X} Hat E^{X}

${ frac {d} {dx}} e ^ {x} = e ^ {x}$

Teil 3 von 4:

Finden des Derivats E mit einem funktionalen Exponenten

1. Definieren Sie Ihre Funktion. In diesem Beispiel finden Sie die allgemeine Ableitung von Funktionen, die haben

E

$E$ auf einen Exponenten angehoben, wenn der Exponent selbst eine Funktion von ist

X

$X$ .

Betrachten Sie als Beispiel die Funktion $y Hat E 2 X + 3$ $y = e ^ {{2x + 3}}$ .

2. Definieren Sie die Variable u { displaystyle u} $u$ . Diese Lösung wird die Kettenregel von Derivaten einbeziehen. Erinnern Sie sich daran, dass die Kettenregel gilt, wenn Sie eine Funktion haben,

u (X)

$u (x)$ innerhalb eines anderen verschachtelt,

F (X)

$f (x)$ , Wie du hier hast. Die Kettenregel heißt:

D y D X Hat D y D u * D u D X

${ frac {dy} {dx}} = { frac {dy} {du}} * { frac {du} {dx}}$

Zusammenfassend definieren Sie den Exponenten als separate Funktion

u (X)

$u (x)$ .

Für dieses Beispiel ist der Exponenten die verschachtelte Funktion

u (X)

$u (x)$ . Somit für dieses Beispiel:

y Hat E u

$y = e ^ {u}$ , und

u Hat 2 X + 3

$u = 2x + 3$

3. Wenden Sie die Kettenregel an. Die Kettenregel erfordert, dass Sie die Derivate der beiden Funktionen finden

y

$y$ und

u

$u$ . Das resultierende Derivat ist dann das Produkt der beiden.

Die beiden separaten Derivate sind:

D y D u Hat D D u E^{u} Hat E^{u}

${ displaystyle { frac {dy} {du}} = { frac {d} {u}} e ^ {u} = e ^ {u}}$ . (Denken Sie daran, dass das Derivat von

E X

$e ^ {x}$ ist

E X

$e ^ {x}$ .)

D u D X Hat D D X (2 X + 3) Hat 2

${ frac {du} {dx}} = { frac {d} {dx}} (2x + 3) = 2$

Kombinieren Sie nach der Suche nach den zwei separaten Derivaten, um das Derivat der ursprünglichen Funktion zu finden:

D y D X Hat D y D u * D u D X

${ frac {dy} {dx}} = { frac {dy} {du}} * { frac {du} {dx}}$

D D X E^{2 X + 3} Hat E^{(2 X + 3)} * 2 Hat 2 E^{(2 X + 3)}

${ frac {d} {dx}} e ^ {{2x + 3}} = e ^ {{{{{{{(2x + 3)}} * 2 = 2e ^ {{{{{{{{{{2x + 3)}}$

4. Übe ein anderes Beispiel von E { displaystyle e} $E$ mit einem funktionalen Exponent. Wählen Sie ein anderes Beispiel aus,

y Hat E Sünde X

$y = e ^ {{ sin x}}$ .

Definieren Sie die verschachtelte Funktion. In diesem Fall,

u Hat Sünde X

$u = sin x$ .

Finden Sie die Derivate der Funktionen

y

$y$ und

u

$u$ .

D y D u Hat E^{u}

${ frac {dy} {du}} = e ^ {u}$

D u D X Hat Cos X

${ frac {du} {dx}} = cos x$

Kombinieren Sie mit der Kettenregel:

y Hat E Sünde X

$y = e ^ {{ sin x}}$

D y D X Hat D y D u * D u D X

${ frac {dy} {dx}} = { frac {dy} {du}} * { frac {du} {dx}}$

D D X E^{Sünde X} Hat E^{u} * Cos X Hat E^{Sünde X} Cos X

${ frac {d} {dx}} E ^ {{ sin x}} = e ^ {u} * cos x = e ^ {{ sin x}} cos x$

Teil 4 von 4:

Finden des Derivats von x

1. Definieren Sie die Funktion. Für dieses spezielle Beispiel, das manchmal als "Kraftturm" bezeichnet wird, wählen Sie die Funktion, so dass:

$y Hat X X$ $y = x ^ {x}$

2. Finden Sie den natürlichen Logarithmus jeder Seite. Wie zuvor beginnt die Lösung hier mit dem natürlichen Logarithmus jeder Seite der Gleichung:

\ln y Hat \ln (X X)

$ln y = ln (x ^ {x})$

\ln y Hat X \ln X

$ln y = x ln x$

3. Nehmen Sie das Derivat jeder Seite der Gleichung an. Auf der rechten Seite dieser Gleichung müssen Sie die Produktregel von Derivaten anwenden. Erinnern daran, dass die Produktregel das heißt, wenn

y Hat F (X) * G (X)

$y = f (x) * g (x)$ , dann

y ` Hat F * G^{`} + F^{`} * G

$y ^ {{ prime}} = f * g ^ {{ prime}} + f ^ {{ prime}} * g$ .

\ln y Hat X \ln X

$ln y = x ln x$

\frac{1}{y} D y D X Hat X * \frac{1}{X} + 1 * \ln X

${ frac {1} {y}} { frac {dy} {dx}} = x * { frac {1} {x}} + 1 * ln x$

\frac{1}{y} D y D X Hat 1 + \ln X

${ frac {1} {y}} { frac {dy} {dx}} = 1+ ln x$

4. Multiplizieren Sie jede Seite mit y. Isolieren Sie den derivativen Begriff rechts, indem Sie beide Seiten der Gleichung durch y multiplizieren.