Wie man vektoren hinzufügen oder subtrahieren

Viele gemeinsame physikalische Mengen sind oft Vektoren oder Skalare. Vektoren sind auf Pfeile ähnlich und bestehen aus einer positiven Größe (Länge) und vor allem eine Richtung. Auf den anderen Handschaltern sind nur numerische Werte möglicherweise negativ.Beachten Sie, dass, obwohl Vektor-Magitiers positiv sind oder vielleicht Null sind, die Komponenten von Vektoren natürlich negativen Vektor sein, der im Gegensatz zu der Koordinaten- oder Referenzrichtung angedeutet wird.Beispiele für Vektoren: Kraft, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Verschiebung, Gewicht, Magnetfeld usw.Beispiele für Skalare: Masse, Temperatur, Geschwindigkeit, Abstand, Energie, Spannung, elektrische Ladung, Druck in einem Fluid usw.Während Skalare direkt wie Zahlen hinzugefügt werden können (e.G. 5 kJ der Arbeit plus 6kj gleich 11kj - oder 9 Volt plus minus 3 Volt ergibt 6 Volt: + 9V plus -3V ergibt + 6V), Vektoren sind etwas komplizierter, um hinzuzufügen oder zu subtrahieren, obwohl kollineare Vektoren einfach sind und sich wie das Hinzufügen von Zahlen verhalten das kann negativ sein. Siehe unten mehrere Möglichkeiten, um Vektorzugabe und Subtraktion anzugehen.

Schritte

Methode 1 von 3:
Hinzufügen und Subtrahieren von Vektoren mit bekannten Komponenten
  1. Bildtitel Hinzufügen oder Subtrahieren von Vektoren Schritt 1
1. Exprimieren Sie einen Vektor in Bezug auf Komponenten in einigen Koordinatensystem, in dem normalerweise X, Y, und möglicherweise z in üblicher 2- oder 3-dimensionaler Raum (höhere Dimensionalität ist auch in einigen mathematischen Situationen möglich). Diese Komponententeile werden in der Regel mit einer Notation ausgedrückt, die ähnlich dem verwendet wird, der zur Beschreibung von Punkten in einem Koordinatensystem verwendet wird (e.G. , usw.). Wenn diese Teile bekannt sind, ist das Hinzufügen oder Subtrahierende Vektoren nur ein einfaches Hinzufügen oder Subtrahieren der X-, Y- und Z-Komponenten.
  • Beachten Sie, dass Vektoren 1, 2 oder 3-dimensional sein können. Somit können Vektoren eine X-Komponente, eine X- und Y-Komponente oder eine X-, Y- und Z-Komponente aufweisen.
  • Nehmen wir an, wir haben zwei 3-dimensionale Vektoren, Vektor A und Vektor B. Wir könnten diese Vektoren in Komponenten als A = und B = unter Verwendung von X y Z-Komponenten entsprechend schreiben.
  • Bildtitel Hinzufügen oder Subtrahieren von Vektoren Schritt 2
    2. Um zwei Vektoren hinzuzufügen, fügen wir einfach ihre Komponenten hinzu.Mit anderen Worten, fügen Sie die X-Komponente des ersten Vektors mit der X-Komponente des zweiten und so weiter für Y und Z hinzu. Die Antworten, die Sie vom Hinzufügen der X-, Y- und Z-Komponenten Ihrer ursprünglichen Vektoren erhalten, sind die X-, Y- und Z-Komponenten Ihres neuen Vektors.
  • Allgemein gesagt, A + B Hat .
  • Fügen wir zwei Vektoren A und B hinzu. Beispiel: A = <5, 9, -10> und b = <17, -3, -2>. A + b = <5 + 17, 9 + -3, -10 + -2>, oder <22, 6, -12>.
  • Bildtitel Hinzufügen oder Subtrahieren von Vektoren Schritt 3
    3. Um zwei Vektoren zu subtrahieren, subtrahieren Sie ihre Komponenten. Beachten Sie, dass der Subtrahieren eines Vektors von einem anderen A-B dauern kann, dass "umkehren" von diesem zweiten A + (- b).
  • Allgemein gesagt, A-B Hat
  • Subtrahieren wir zwei Vektoren A und B. A = <18, 5, 3> und b = <10, 9, -10>. A - B = <18-10, 5-9, 3 - (- 10)>, oder <8, -4, 13>.
    • Methode 2 von 3:
    Addieren und Subtrahieren visuell mit dem Head to Heckmethode
    1. Bildtitel Hinzufügen oder Subtrahieren von Vektoren Schritt 4
    1. Repräsentieren Vektoren visuell, indem Sie sie mit Kopf und Schwanz ziehen. Da Vektoren Größe und Richtung haben, werden sie mit einem Schwanz und einem Kopf und einer Länge verglichen. Vektoren können gesagt werden, um a "Anfangspunkt" und ein "Endpunkt". Das "scharfe Stelle" des Pfeils ist der Kopf des Vektors und das "Base" des Pfeils ist der Schwanz.
    • Wenn Sie eine Skaleizzeichnung eines Vektors herstellen, müssen Sie darauf achten, alle Winkel genau zu messen und zu zeichnen. Falsche Winkel werden zu schlechten Antworten führen.
  • Bildtitel Hinzufügen oder Subtrahieren von Vektoren Schritt 5
    2. Zeichnen Sie den zweiten Vektor B, um 2 Vektoren hinzuzufügen, so dass sein Schwanz den Kopf des ersten A theft. Dies wird als Beitritt mit Ihren Vektoren bezeichnet "Kopf zum Schwanz". Wenn Sie nur zwei Vektoren hinzufügen, müssen Sie alles tun, bevor Sie Ihren resultierenden Vektor A + B finden müssen. Vector B muss möglicherweise in Position geschoben werden, ohne die Orientierung zu verändern, den parallelen Transport genannt.
  • Beachten Sie, dass die Reihenfolge, die Sie den Vektoren anschließen, nicht wichtig ist. Vektor A + Vektor B = Vektor B + Vektor A
  • Bildtitel Hinzufügen oder Subtrahieren von Vektoren Schritt 6
    3. Zum Abziehen, fügen Sie das hinzu "Negativ" des Vektors. Subtrahierende Vektoren visuell sind ziemlich einfach. Fahren Sie einfach die Richtung des Vektors um, aber halten Sie es jedoch das Gleichgewicht und fügen Sie es Ihrem Vektorkopf zum Schwanz hinzu, wie Sie es tun würden. Mit anderen Worten, um einen Vektor zu subtrahieren, drehen Sie den Vektor 180 um und fügen Sie ihn hinzu.
  • Bildtitel Hinzufügen oder Subtrahieren von Vektoren Schritt 7
    4. Wenn Sie mehr als zwei Vektoren hinzufügen oder subtrahieren, schließen Sie alle anderen Vektoren in der Reihenfolge an. Eigentlich ist die Reihenfolge, in der Sie den Vektoren beitreten, keine Rolle. Diese Methode kann für eine beliebige Anzahl von Vektoren verwendet werden.
  • Bildtitel Hinzufügen oder Subtrahieren von Vektoren Schritt 8
    5. Um das Ergebnis zu erhalten: Zeichne einen neuen Vektor vom Schwanz des ersten Vektors zum Kopf des letzten. Egal, ob Sie zwei Vektoren oder hundert, den Vektor, der sich vom ursprünglichen Ausgangspunkt (den Schwanz Ihres ersten Vektors) ausdehnt resultierend Vektor oder die Summe aller Ihrer Vektoren. Beachten Sie, dass dieser Vektor mit dem Vektor identisch ist, der durch Hinzufügen der X-, Y- und vielleicht-Z-Komponenten aller Vektoren separat erhalten wird.
  • Wenn Sie alle Ihre Vektoren abradieren, um alle Winkel genau zu messen, können Sie die Größe des resultierenden Vektors durch Messen seiner Länge finden. Sie können den Winkel auch messen, dass das Ergebnis entweder mit einem angegebenen Vektor oder horizontal / vertikal usw. ist. um seine Richtung zu finden.
  • Wenn Sie nicht alle Vektoren zum Skalieren zog, müssen Sie wahrscheinlich die Größe der resultierenden Verwendung mit Trigonometrie berechnen. Sie können das finden Sinusregel und der Cosinus-Regel Hilfreich hier. Wenn Sie mehr als zwei Vektoren zusammenfügen, ist es hilfreich, zuerst zwei hinzuzufügen, dann mit dem dritten Vektor, und so weiter. Weitere Informationen finden Sie im folgenden Abschnitt.
  • Bildtitel Hinzufügen oder Subtrahieren von Vektoren Schritt 9
    6. Repräsentieren Ihren resultierenden Vektor über seine Größe und Richtung. Vektoren werden durch ihre Länge und Richtung definiert. Wie oben erwähnt, wird davon ausgegangen, dass Sie Ihre Vektoren genau abradieren, Ihre neue Vektorgröße ist ihre Länge und ihre Richtung ist der Winkel relativ zu der vertikalen, horizontalen usw. Verwenden Sie die Einheiten Ihrer zusätzlichen oder subtrahierten Vektoren, um die Einheiten für Ihre resultierende Vektorgröße auszuwählen.
  • Wenn zum Beispiel die Vektoren, die wir in MS repräsentierten, fügten, könnten wir unseren resultierenden Vektor als definieren "eine Geschwindigkeit von X ms at y zur horizontalen".
    • Methode 3 von 3:
    Hinzufügen und Subtrahieren von Vektoren, indem Sie Komponenten finden
    1. Bildtitel Hinzufügen oder Subtrahieren von Vektoren Schritt 10
    1. Verwenden Sie die Trigonometrie, um die Komponenten eines Vektors zu finden. Um die Komponenten eines Vektors zu finden, ist es in der Regel notwendig, seine Größe und ihre Richtung relativ zur Horizontalen oder vertikalen Richtung zu kennen und ein funktionierendes Wissen der Trigonometrie zu haben. Einen 2-D-Vektor zuerst einnehmen: Stellen Sie Ihren Vektor als Hypotenuse eines rechten Dreiecks ein oder stellen Sie sich vor, dessen andere zwei Seiten parallel zu den X- und Y-Achsen sind. Diese beiden Seiten können als Head-to-Tail-Komponentenvektoren betrachtet werden, die zum Erstellen Ihres ursprünglichen Vektors hinzufügen.
    • Die Längen der beiden Seiten sind gleich den Größen der X- und Y-Komponenten Ihres Vektors und können mit einer Trigonometrie berechnet werden. Wenn x die Größe des Vektors ist, ist die neben dem Winkel des Vektors (relativ zu der horizontalen, vertikalen usw.) Winkel ist XCOS (θ), während die gegenüberliegende Seite ist XSIN (θ).
    • Es ist auch wichtig, die Richtung Ihrer Komponenten zu beachten. Wenn die Komponente in der negativen Richtung einer Ihrer Achsen zeigt, wird er ein negatives Zeichen gegeben. Wenn beispielsweise in einem 2-D-Flugzeug ein Bauteil links oder unten zeigt, wird er ein negatives Zeichen gegeben.
    • Nehmen wir zum Beispiel an, dass wir einen Vektor mit einer Größe von 3 und einer Richtung von 135 relativ zur Horizontalen haben. Mit diesen Informationen können wir feststellen, dass seine X-Komponente 3COS (135) = ist = -2.12 und seine y-Komponente ist 3Sin (135) = 2.12
  • Bildtitel Hinzufügen oder Subtrahieren von Vektoren Schritt 11
    2. Fügen Sie zwei oder mehr Vektoren entsprechende Komponenten hinzu oder subtrahieren Sie sie. Wenn Sie die Komponenten aller Ihrer Vektoren gefunden haben, fügen Sie einfach ihre Größen zusammen, um die Komponenten Ihres resultierenden Vektors zu finden. Fügen Sie zunächst alle Größen der horizontalen Komponenten (solche parallel zur X-Achse) zusammen. Fügen Sie separat alle Größen der vertikalen Komponenten (solche parallel zur y-Achse) hinzu. Wenn eine Komponente ein negatives Zeichen (-) hat, wird seine Größe subtrahiert, anstatt hinzugefügt. Die Antworten, die Sie erhalten, sind die Komponenten Ihres resultierenden Vektors.
  • Nehmen wir zum Beispiel an, dass unser Vektor aus dem vorherigen Schritt, <-2.12, 2.12>, wird dem Vektor hinzugefügt <5.78, -9>. In diesem Fall wäre unser resultierender Vektor <-2.12 + 5.78, 2.12-9>, oder <3.66, -6.88>.
  • Bildtitel Hinzufügen oder Subtrahieren von Vektoren Schritt 12
    3. Berechnen Sie die Größe des resultierenden Vektors mit dem Pythagor-Theorem. Der pythagoreanische theorem, c = a + b, löst sich für die seitlichen Längen der rechten Dreiecke. Da das Dreieck, das von unserem resultierenden Vektor und seinen Komponenten gebildet wird, ein richtiges Dreieck ist, können wir es verwenden, um die Länge unserer Vektors und damit seine Größe zu finden. Mit C Als Größenordnung des resultierenden Vektors, den Sie löst, einstellen ein als Größe seiner X-Komponente und B Als Größe seiner y-Komponenten. Mit Algebra lösen.
  • Um die Größe des Vektors zu finden, dessen Komponenten wir im vorherigen Schritt gefunden haben, <3.66, -6.88>, Lassen Sie uns den Pythagor-Theorem verwenden. Lösen Sie wie folgt:
  • c = (3.66) + (- 6.88)
  • c = 13.40 + 47.33
  • c = √60.73 = 7.79
  • Bildtitel Hinzufügen oder Subtrahieren von Vektoren Schritt 13
    4. Berechnen Sie die Richtung des Ergebnisses mit der Tangentenfunktion. Schließlich finden Sie die resultierende Vektorrichtung. Verwenden Sie die Formel θ = Tan (b / a), wobei θ der Winkel ist, dass das resultierende mit der X-Achse oder der Horizontal B die Größe der y-Komponente ist, und A ist die Größe der X-Komponente.
  • Um die Richtung unseres Beispielvektors zu finden, verwenden wir θ = tan (b / a).
  • θ = Tan (-6.88/3.66)
  • θ = tan (-1.88)
  • θ = -61.99
  • Bildtitel Hinzufügen oder Subtrahieren von Vektoren Schritt 14
    5. Repräsentieren Ihren resultierenden Vektor über seine Größe und Richtung. Wie oben erwähnt, werden Vektoren durch ihre Größe und Richtung definiert. Verwenden Sie unbedingt die richtigen Einheiten für Ihre Vektorgröße.
  • Wenn beispielsweise unser Beispielvektor eine Kraft (in Newtons) darstellte, dann könnten wir es als schreiben "eine Kraft von 7.79 N at -61.99 zur horizontalen".

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    Tipps

    Spaltenvektoren können hinzugefügt oder subtrahiert werden, indem Sie die Werte in jeder Zeile einfach hinzufügen oder subtrahieren.
  • Vektoren im Formular x dargestelltich + yJ + ZK kann hinzugefügt oder subtrahiert werden, indem sie einfach zu den Koeffizienten der drei Gerätenvektoren hinzugefügt oder subtrahiert werden. Die Antwort wird auch in i, j, k-Form sein.
  • Vektoren dürfen nicht mit Größen verwechselt werden.
  • Sie können die Größe eines Vektors in drei Dimensionen unter Verwendung der Formel finden A = B + C + D, wo ein ist die Größe des Vektors und B, C, und D sind die Komponenten in jeder Richtung.
  • Vektoren in der gleichen Richtung können hinzugefügt oder durch Hinzufügen oder Subtrahieren ihrer Magitüden abgezogen werden. Wenn du hinzufügen Zwei Vektoren in entgegengesetzten Richtungen, ihre Größen sind subtrahiert, nicht hinzugefügt.
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