So finden Sie den Winkel zwischen zwei Vektoren: 12 Schritte

In der Mathematik ist ein Vektor irgendein Objekt, das eine definierbare Länge aufweist, die als Größe und Richtung bekannt ist. Da Vektoren nicht mit Standardlinien oder Formen gleich sind, müssen Sie einige spezielle Formeln verwenden, um Winkel zwischen ihnen zu finden.

Schritte

Teil 1 von 2:

Den Winkel zwischen zwei Vektoren finden

1. Schreiben Sie die Cosinus-Formel auf. Um den Winkel θ zwischen zwei Vektoren zu finden, beginnen Sie mit der Formel, um den Cosinus dieses Winkels zu finden. Sie können unten über diese Formel erfahren oder einfach aufschreiben:

cosθ = ( $\vec{u}$ ${ operightarrow {u}}$ • $\vec{v}$ ${ overRightarrow {v}}$ ) / ((|| $\vec{u}$ ${ operightarrow {u}}$ || || $\vec{v}$ ${ overRightarrow {v}}$ ||)

\vec{u}

${ operightarrow {u}}$ || meint "Die Länge des Vektors

\vec{u}

${ operightarrow {u}}$ ."

\vec{u}

${ operightarrow {u}}$ •

\vec{v}

${ overRightarrow {v}}$ ist das Punktprodukt (Skalarprodukt) der beiden Vektoren, die unten erläutert werden.

Bildtitel Finden Sie den Winkel zwischen zwei Vektoren Schritt 1

2. Identifizieren Sie die Vektoren. Notieren Sie sich alle Informationen, die Sie über die beiden Vektoren haben. Wir gehen davon aus, dass Sie nur die Definition des Vektors in Bezug auf seine Dimensionskoordinaten (auch Komponenten genannt) haben. Wenn Sie bereits eine Vektorlänge (seine Größe) kennen, können Sie einige der folgenden Schritte überspringen.

Beispiel: der zweidimensionale Vektor

\vec{u}

${ operightarrow {u}}$ = (2,2). Vektor

\vec{v}

${ overRightarrow {v}}$ = (0,3). Diese können auch als geschrieben werden

\vec{u}

${ operightarrow {u}}$ = 2ich + 2J und

\vec{v}

${ overRightarrow {v}}$ = 0ich + 3J = 3J.

Während unser Beispiel zweidimensionale Vektoren verwendet, decken die Anweisungen unten die Vektoren mit einer beliebigen Anzahl von Komponenten ab.

Bildtitel Finden Sie den Winkel zwischen zwei Vektoren Schritt 3

3. Berechnen Sie die Länge jedes Vektors. Bild ein rechtes Dreieck, das von der X-Komponente des Vektors gezogen wurde, seine Y-Komponente und den Vektor selbst. Der Vektor bildet die Hypotenuse des Dreiecks, um seine Länge zu finden, verwenden wir den Pythagor-Theorem. Wenn sich herausstellt, ist diese Formel mit einer beliebigen Anzahl von Komponenten leicht auf Vektoren erweitert.

||u|| = u₁ + u₂. Wenn ein Vektor mehr als zwei Komponenten hat, fügen Sie einfach weiter + u hinzu₃ + u₄ + ...

Daher für einen zweidimensionalen Vektor, ||u|| = √ (u₁ + u₂).

In unserem Beispiel, ||

\vec{u}

${ operightarrow {u}}$ || = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. ||

\vec{v}

${ overRightarrow {v}}$ || = √ (0 + 3) = √ (9) = 3.

Bildtitel Finden Sie den Winkel zwischen zwei Vektoren Schritt 4

4. Berechnen Sie das Punktprodukt der beiden Vektoren. Sie haben wahrscheinlich bereits diese Methode zum Multiplizieren von Vektoren gelernt, auch als Skalarprodukt.

Um das Punktprodukt in Bezug auf die Komponenten der Vektoren zu berechnen, multiplizieren Sie die Komponenten in jeder Richtung zusammen, fügen Sie dann alle Ergebnisse hinzu.

Für Computergrafik-Programme siehe Tipps, bevor Sie fortfahren.

DOT-Produktbeispiel finden
In mathematischen Hindernissen, $\vec{u}$ ${ operightarrow {u}}$ • $\vec{v}$ ${ overRightarrow {v}}$ = u₁v₁ + u₂v₂, wo u = (u₁, u₂). Wenn Ihr Vektor mehr als zwei Komponenten hat, fügen Sie einfach weiter + u hinzu₃v₃ + u₄v₄...
In unserem Beispiel, $\vec{u}$ ${ operightarrow {u}}$ • $\vec{v}$ ${ overRightarrow {v}}$ = u₁v₁ + u₂v₂ = (2) (0) + (2) (3) = 0 + 6 = 6. Dies ist das Punktprodukt des Vektors $\vec{u}$ ${ operightarrow {u}}$ und $\vec{v}$ ${ overRightarrow {v}}$ .

Bildtitel Finden Sie den Winkel zwischen zwei Vektoren Schritt 5

5. Stecken Sie Ihre Ergebnisse in die Formel. Merken,

cosθ = (

\vec{u}

${ operightarrow {u}}$ •

\vec{v}

${ overRightarrow {v}}$ ) / ((||

\vec{u}

${ operightarrow {u}}$ || ||

\vec{v}

${ overRightarrow {v}}$ ||).

Jetzt wissen Sie sowohl das Punktprodukt als auch die Längen jedes Vektors. Geben Sie diese in diese Formel ein, um den Cosinus des Winkels zu berechnen.

Finden von Cosinus mit Punktprodukt und Vektorlängen
In unserem Beispiel cosθ = 6 / ((2√2

3) = 1 / √2 = √2 / 2.

Bildtitel Finden Sie den Winkel zwischen zwei Vektoren Schritt 6

6. Finden Sie den Winkel basierend auf dem Cosinus. Sie können die ARCCOS- oder COS-Funktion auf Ihrem Rechner an verwenden

Finden Sie den Winkel θ von einem bekannten cos θ-Wert.

Für einige Ergebnisse können Sie möglicherweise den Winkel basierend auf der Einheitskreis.

Einen Winkel mit Cosinus finden
In unserem Beispiel cosθ = √2 / 2. Eingeben "Arccos (√2 / 2)" In Ihrem Rechner, um den Winkel zu erhalten. Alternativ finden Sie den Winkel θ auf dem Einheitskreis, wo cosθ = √2 / 2. Dies gilt für θ = /₄ oder 45º.
Alles zusammenstellen, die endgültige Formel ist:
Winkel θ = Arccosin ((( $\vec{u}$ ${ operightarrow {u}}$ • $\vec{v}$ ${ overRightarrow {v}}$ ) / ((|| $\vec{u}$ ${ operightarrow {u}}$ || || $\vec{v}$ ${ overRightarrow {v}}$ ||))

Teil 2 von 2:

Definieren der Winkelformel

1. Den Zweck dieser Formel verstehen. Diese Formel wurde nicht von bestehenden Regeln abgeleitet. Stattdessen wurde es als Definition von zwei Vektoren-Punktprodukts und dem Winkel zwischen ihnen erstellt. Diese Entscheidung war jedoch nicht willkürlich. Mit einem Rückblick auf die Grundgeometrie können wir sehen, warum diese Formel intuitive und nützliche Definitionen ergibt.

Die folgenden Beispiele verwenden zweidimensionale Vektoren, da diese die intuitivsten Nutzung sind. Vektoren mit drei oder mehr Komponenten haben Eigenschaften, die mit der sehr ähnlichen, allgemeinen Fallformel definiert sind.

Bildtitel Finden Sie den Winkel zwischen zwei Vektoren Schritt 8

2. Überprüfen Sie das Gesetz der Cosinss. Nehmen Sie ein gewöhnliches Dreieck mit Winkel θ zwischen den Seiten A und B und der gegenüberliegenden Seite c. Das Gesetz der Cosinss gibt an, dass c = a + b -2abCos(θ). Dies wird ziemlich einfach von der Grundgeometrie abgeleitet.

Bildtitel Finden Sie den Winkel zwischen zwei Vektoren Schritt 9

3. Verbinden Sie zwei Vektoren, um ein Dreieck zu bilden. Skizzieren Sie ein Paar von 2D-Vektoren auf Papier, Vektoren

\vec{ein}

${ operightarrow {a}}$ und

\vec{B}

${ overRightarrow {b}}$ , mit Winkel θ zwischen ihnen. Zeichne einen dritten Vektor zwischen ihnen, um ein Dreieck zu machen. Mit anderen Worten, Zeichnen Sie Vektor

\vec{C}

${ overRightarrow {c}}$ so dass

\vec{B}

${ overRightarrow {b}}$ +

\vec{C}

${ overRightarrow {c}}$ Hat

\vec{ein}

${ operightarrow {a}}$ . Dieser Vektor

\vec{C}

${ overRightarrow {c}}$ Hat

\vec{ein}

${ operightarrow {a}}$ -

\vec{B}

${ overRightarrow {b}}$ .

Bildtitel Finden Sie den Winkel zwischen zwei Vektoren Schritt 10

4. Schreiben Sie das Gesetz der Cosinssosen für dieses Dreieck. Legen Sie die Länge unserer ein "Vektor-Dreieck" Seiten in das Gesetz der Cosinus:

||(A - B)|| Hat ||ein|| + ||B|| - 2||ein|| ||B||Cos(θ)

Bildtitel Finden Sie den Winkel zwischen zwei Vektoren Schritt 11

5. Schreiben Sie dies mit Punktprodukten. Denken Sie daran, ein Punktprodukt ist die Vergrößerung eines auf einem anderen projizierten Vektors. Ein Vektor-Punktprodukt mit sich erfordert keine Projektion, da es keinen Richtungsunterschied gibt. Dies bedeutet, dass

\vec{ein}

${ operightarrow {a}}$ •

\vec{ein}

${ operightarrow {a}}$ Hat ||ein||. Verwenden Sie diese Tatsache, um die Gleichung neu zu schreiben:

(

\vec{ein}

${ operightarrow {a}}$ -

\vec{B}

${ overRightarrow {b}}$ ) • (

\vec{ein}

${ operightarrow {a}}$ -

\vec{B}

${ overRightarrow {b}}$ ) =

\vec{ein}

${ operightarrow {a}}$ •

\vec{ein}

${ operightarrow {a}}$ +

\vec{B}

${ overRightarrow {b}}$ •

\vec{B}

${ overRightarrow {b}}$ - 2||ein|| ||B||Cos(θ)

Bildtitel Finden Sie den Winkel zwischen zwei Vektoren Schritt 12

6. Schreibe es in die bekannte Formel um. Erweitern Sie die linke Seite der Formel und vereinfachen Sie dann, um die Formel zu erreichen, die verwendet wird, um Winkel zu finden.

\vec{ein}

${ operightarrow {a}}$ •

\vec{ein}

${ operightarrow {a}}$ -

\vec{ein}

${ operightarrow {a}}$ •

\vec{B}

${ overRightarrow {b}}$ -

\vec{B}

${ overRightarrow {b}}$ •

\vec{ein}

${ operightarrow {a}}$ +

\vec{B}

${ overRightarrow {b}}$ •

\vec{B}

${ overRightarrow {b}}$ Hat

\vec{ein}

${ operightarrow {a}}$ •

\vec{ein}

${ operightarrow {a}}$ +

\vec{B}

${ overRightarrow {b}}$ •

\vec{B}

${ overRightarrow {b}}$ - 2||ein|| ||B||Cos(θ)

\vec{ein}

${ operightarrow {a}}$ •

\vec{B}

${ overRightarrow {b}}$ -

\vec{B}

${ overRightarrow {b}}$ •

\vec{ein}

${ operightarrow {a}}$ = -2||ein|| ||B||Cos(θ)

-2 (

\vec{ein}

${ operightarrow {a}}$ •

\vec{B}

${ overRightarrow {b}}$ ) = -2||ein|| ||B||Cos(θ)

\vec{ein}

${ operightarrow {a}}$ •

\vec{B}

${ overRightarrow {b}}$ Hat ||ein|| ||B||Cos(θ)

Video.

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Tipps

Verwenden Sie für einen schnellen Stopfen und lösen Sie diese Formel für jedes Paar zweidimensionaler Vektoren: cosθ = (u₁ • V₁ + u₂ • V₂) / (√ (u₁ • U₂) • √ (v₁ • V₂)).

Wenn Sie an einem Computergrafikprogramm arbeiten, kümmern Sie sich höchstwahrscheinlich nur um die Richtung der Vektoren, nicht ihre Länge. Machen Sie diese Schritte, um die Gleichungen zu vereinfachen und Ihr Programm zu beschleunigen:

Normalisieren Sie jeden Vektor Die Länge wird also 1. Teilen Sie dazu jede Komponente des Vektors durch die Länge des Vektors auf.

Nehmen Sie das Punktprodukt der normalisierten Vektoren anstelle der ursprünglichen Vektoren.

Wenn die Länge gleich 1 ist, lassen Sie die Länge der Länge von Ihrer Gleichung aus. Ihre letzte Gleichung für den Winkel ist Arccos (

\vec{u}

${ operightarrow {u}}$ •

\vec{v}

${ overRightarrow {v}}$ ).

Basierend auf der Cosinus-Formel können wir schnell feststellen, ob der Winkel akut oder stumpf ist. Beginnen Sie mit cosθ = (

\vec{u}

${ operightarrow {u}}$ •

\vec{v}

${ overRightarrow {v}}$ ) / ((||

\vec{u}

${ operightarrow {u}}$ || ||

\vec{v}

${ overRightarrow {v}}$ ||):

Die linke Seite und die rechte Seite der Gleichung müssen das gleiche Zeichen haben (positiv oder negativ).

Da die Längen immer positiv sind, muss cosθ das gleiche Zeichen wie das Punktprodukt haben.

Wenn daher das Punktprodukt positiv ist, ist cosθ positiv. Wir sind im ersten Quadranten des Einheitskreises mit θ < π / 2 oder 90º. Der Winkel ist akut.

Wenn das Punktprodukt negativ ist, ist cosθ negativ. Wir sind im zweiten Quadranten des Einheitskreiss mit π / 2 < θ ≤ π oder 90º < θ ≤ 180º. Der Winkel ist stumpf.

So finden sie den winkel zwischen zwei vektoren

Schritte

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