4 Möglichkeiten, um einen Begriff einer arithmetischen Sequenz zu finden

Eine arithmetische Sequenz ist eine beliebige Liste von Zahlen, die sich von einem bis zum nächsten unterscheiden, von einem konstanten Betrag. Zum Beispiel die Liste der geraden Zahlen, $0, 2, 4, 6, 8$ $0,2,4,6,8$ ... ist eine arithmetische Reihenfolge, da der Unterschied von einer Zahl in der Liste zum nächsten immer 2 ist. Wenn Sie wissen, dass Sie mit einer arithmetischen Sequenz arbeiten, werden Sie möglicherweise aufgefordert, den nächsten Begriff von einer bestimmten Liste zu finden. Sie können auch aufgefordert werden, eine Lücke auszufüllen, in der ein Begriff fehlt. Schließlich möchten Sie vielleicht wissen, zum Beispiel den 100. Begriff, ohne alle 100 Begriffe tatsächlich zu schreiben. Ein paar einfache Schritte können Ihnen dabei helfen, irgendwelche davon zu tun.

Schritte

Methode 1 von 4:

Den nächsten Begriff in einer arithmetischen Sequenz finden

1. Finden Sie den gemeinsamen Unterschied für die Sequenz. Wenn Sie mit einer Liste von Zahlen präsentiert werden, können Sie mitgeteilt werden, dass die Liste eine arithmetische Sequenz ist, oder Sie müssen möglicherweise das herausfinden. Der erste Schritt ist in beiden Fällen gleich. Wählen Sie die ersten beiden aufeinander folgenden Begriffe in der Liste aus. Subtrahieren Sie den ersten Begriff vom zweiten Begriff. Das Ergebnis ist der heilige Unterschied Ihrer Sequenz.

Angenommen, Sie haben die Liste $1, 4, 7, 10, 13$ $1,4,7,10,13$ .... Subtrahieren $4 - 1$ $4-1$ um den gemeinsamen Unterschied von 3 zu finden.
Angenommen, Sie haben eine Liste von Bedingungen, die abnehmen, wie z $25, 21, 17, 13$ $25,21,17,13$ ... Sie subtrahieren immer noch den ersten Begriff aus dem zweiten, um den Unterschied zu finden. In diesem Fall gibt es dir das $21 - 25 Hat - 4$ $21-25 = -4$ . Das negative Ergebnis bedeutet, dass Ihre Liste abnimmt, wenn Sie von links nach rechts gelesen haben. Sie sollten immer überprüfen, ob das Zeichen des Unterschieds mit der Richtung entspricht, dass die Zahlen läuft.

Bildtitel Finden Sie einen Begriff einer arithmetischen Sequenz Schritt 2

2. Stellen Sie sicher, dass der gemeinsame Differenz konsistent ist. Die Suche nach dem gemeinsamen Unterschied für nur die ersten beiden Bedingungen stellt nicht sicher, dass Ihre Liste eine arithmetische Reihenfolge ist. Sie müssen sicherstellen, dass der Unterschied für die gesamte Liste konsistent ist. Überprüfen Sie den Unterschied, indem Sie zwei verschiedene aufeinanderfolgende Begriffe in der Liste subtrahieren. Wenn das Ergebnis für ein oder zwei andere Paare von Bedingungen konsistent ist, haben Sie wahrscheinlich eine arithmetische Sequenz.

Arbeiten mit dem gleichen Beispiel,

1, 4, 7, 10, 13

$1,4,7,10,13$ ... Wähle die zweite und dritte Bedingung der Liste. Subtrahieren

7 - 4

$7-4$ , und Sie finden, dass der Unterschied immer noch 3 ist. Um zu bestätigen, überprüfen Sie ein weiteres Beispiel und subtrahieren

13 - 10

$13-10$ , und Sie finden, dass der Unterschied konsistent ist 3. Sie können ziemlich sicher sein, dass Sie mit einer arithmetischen Sequenz arbeiten.

Es ist möglich, dass eine Liste von Nummern eine arithmetische Sequenz basiert, die auf den ersten Fällen basiert, aber danach fehlschlägt. Betrachten Sie beispielsweise die Liste

1, 2, 3, 6, 9

$1,2,3,6,9$ ... Die Differenz zwischen dem ersten und dem zweiten Satz ist 1, und der Unterschied zwischen dem zweiten und dem dritten Satz ist auch 1. Der Unterschied zwischen dem dritten und vierten Begriff ist jedoch 3. Weil der Unterschied nicht für die gesamte Liste üblich ist, ist dies keine arithmetische Sequenz.

Bildtitel Finden Sie einen Begriff einer arithmetischen Sequenzschritt 3

3. Fügen Sie den gängigen Unterschied zum letzten bestimmten Begriff hinzu. Finden Sie den nächsten Begriff einer arithmetischen Sequenz, nachdem Sie wissen, dass der gemeinsame Unterschied einfach ist. Fügen Sie einfach den gängigen Unterschied zum letzten Begriff der Liste hinzu, und Sie erhalten die nächste Nummer.

Zum Beispiel im Beispiel von

1, 4, 7, 10, 13

$1,4,7,10,13$ ..., um die nächste Nummer in der Liste zu finden, fügen Sie den gängigen Unterschied von 3 auf den letzten angegebenen Begriff hinzu. Hinzufügen

13 + 3

$13 + 3$ Ergebnisse in 16, was der nächste Begriff ist. Sie können weiterhin 3 hinzugefügt werden, um Ihre Liste zu erstellen, solange Sie möchten. Zum Beispiel wäre die Liste

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25

$1,47,10,13,16,19,22,25$ ... Sie können dies so lange tun, wie Sie möchten.

Methode 2 von 4:

Einen fehlenden internen Begriff finden

1. Stellen Sie sicher, dass Sie mit einer arithmetischen Sequenz beginnen. In einigen Fällen haben Sie möglicherweise eine Liste von Zahlen mit einem fehlenden Begriff in der Mitte. Beginnen Sie, wie zuvor, indem Sie überprüfen, ob Ihre Liste eine arithmetische Reihenfolge ist. Wählen Sie zwei aufeinanderfolgende Bedingungen aus und finden Sie den Unterschied zwischen ihnen. Überprüfen Sie dies dann gegen zwei weitere aufeinanderfolgende Begriffe in der Liste. Wenn die Unterschiede gleich sind, können Sie angenommen werden, dass Sie mit einer arithmetischen Sequenz arbeiten und fortfahren.

Angenommen, Sie haben die Liste $0, 4$ $0,4$ ,___, $12, 16, 20$ $12,16,20$ ... Beginnen Sie mit Subtrahieren $4 - 0$ $4-0$ einen Unterschied von 4 finden. Überprüfen Sie dies gegen zwei weitere aufeinanderfolgende Bedingungen, z. B $16 - 12$ $16-12$ . Der Unterschied ist wieder 4. Du kannst fortfahren.

Bildtitel Finden Sie einen Term einer arithmetischen Sequenz-Schritt 5

2. Fügen Sie den gängigen Unterschied zum Begriff vor dem Raum hinzu. Dies ist ähnlich, um einen Begriff zum Ende einer Sequenz hinzuzufügen. Finden Sie den Begriff, der dem Platz in Ihrer Reihenfolge sofort vorausgeht. Dies ist die "letzte" Nummer, die Sie kennen. Fügen Sie Ihren gemeinsamen Unterschied zu diesem Begriff hinzu, um die Nummer zu finden, die den Raum ausfüllen sollte.

In unserem Arbeitsbeispiel,

0, 4

$0,4$ ,____,

12, 16, 20

$12,16,20$ ..., der Begriff vor dem Raum ist 4, und unser gemeinsamer Unterschied für diese Liste ist ebenfalls 4. Also Hinzufügen

4 + 4

$4 + 4$ um 8 zu erhalten, was die Zahl im Leerzeichen sein sollte.

Bildtitel Finden Sie einen Begriff einer arithmetischen Sequenz-Schritt 6

3. Subtrahieren Sie den gemeinsamen Unterschied von der Begriff nach dem Raum. Um sicher zu sein, dass Sie die richtige Antwort haben, prüfen Sie von der anderen Richtung. Eine arithmetische Sequenz sollte in beide Richtungen konsistent sein. Wenn Sie von links nach rechts fahren und 4 hinzufügen, dann in die entgegengesetzte Richtung gehen, von rechts nach links, Sie würden das Gegenteil tun und subtrahieren 4.

Im Arbeitsbeispiel,

0, 4

$0,4$ ,___,

12, 16, 20

$12,16,20$ ..., der Begriff unmittelbar nach dem Platz ist 12. Subtrahieren Sie den gemeinsamen Unterschied von 4 von diesem Begriff, um zu finden

12 - 4 Hat 8

$12-4 = 8$ . Das Ergebnis von 8 sollte den Leerzeichen ausfüllen.

Bildtitel Finden Sie einen Begriff einer arithmetischen Sequenz-Schritt 7

4. Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse. Die beiden Ergebnisse, die Sie erhalten, von der Hinzufügung von unten oder vom Subtrahieren von der Spitze, sollte übereinstimmen. Wenn sie dies tun, haben Sie den Wert für den fehlenden Laufzeit gefunden. Wenn sie dies nicht tun, müssen Sie Ihre Arbeit überprüfen. Sie haben möglicherweise keine echte arithmetische Sequenz.

Im Arbeitsbeispiel die beiden Ergebnisse von

4 + 4

$4 + 4$ und

12 - 4

$12-4$ Beide gaben die Lösung von 8. Daher ist der fehlende Begriff in dieser arithmetischen Sequenz 8. Die vollständige Reihenfolge ist

0, 4, 8, 12, 16, 20

$0,4,8,12,16,20,20$ ...

Methode 3 von 4:

Finden der n-ten Laufzeit einer arithmetischen Sequenz

1. Identifizieren Sie den ersten Begriff der Sequenz. Nicht jede Reihenfolge beginnt mit den Zahlen 0 oder 1. Schauen Sie sich die Liste der Zahlen an, die Sie haben, und finden Sie den ersten Term. Dies ist Ihr Startpunkt, der mit Variablen als (1) bezeichnet werden kann.

Es ist üblich, mit arithmetischen Sequenzen zusammenzuarbeiten, um die Variable A (1) zu verwenden, um den ersten Begriff einer Sequenz zu bezeichnen. Sie können natürlich eine beliebige Variable wählen, die Sie mögen, und die Ergebnisse sollten gleich sein.
Zum Beispiel angesichts der Sequenz $3, 8, 13, 18$ $3,8,13,18$ ..., der erste Begriff ist $3$ $3$ , was algebraisch als (1) bezeichnet werden kann.

Bildtitel Find Jeder Begriff einer arithmetischen Sequenzschritte 9

2. Definieren Sie Ihren gemeinsamen Unterschied als d. Finden Sie den gängigen Unterschied für die Sequenz wie zuvor. In diesem Arbeitsbeispiel ist der gemeinsame Unterschied

8 - 3

$8-3$ , das ist 5. Das Überprüfen mit anderen Begriffen in der Sequenz bietet das gleiche Ergebnis. Wir werden diesen gemeinsamen Unterschied mit der algebraischen Variablen d.

Bildtitel Finden Sie einen bestimmten Begriff einer arithmetischen Sequenzschritte 10

3. Verwenden Sie die explizite Formel. Eine explizite Formel ist eine algebraische Gleichung, mit der Sie einen Begriff einer arithmetischen Sequenz finden können, ohne die vollständige Liste ausschreiben zu müssen. Die explizite Formel für eine algebraische Sequenz ist

ein (n) Hat ein (1) + (n - 1) D

$a (n) = a (1) + (n-1) d$ .

Der Begriff A (n) kann als "der n-ten Begriff von A" gelesen werden, wobei n die Nummer in der Liste, die Sie finden möchten, und A (n) ist der tatsächliche Wert dieser Zahl. Wenn Sie beispielsweise aufgefordert werden, das 100.-Artikel in einer arithmetischen Sequenz zu finden, ist N 100. Beachten Sie, dass n 100 ist, in diesem Beispiel, aber a (n) ist der Wert des 100. Begriffs, nicht die Zahl 100 selbst.

Bildtitel Find Jeder Begriff einer arithmetischen Sequenzschritte 11

4. Füllen Sie Ihre Informationen aus, um das Problem zu lösen. Verwenden Sie die explizite Formel für Ihre Sequenz, füllen Sie die Informationen aus, die Sie kennen, um den von Ihnen benötigten Begriff zu finden.

Zum Beispiel im Arbeitsbeispiel

3, 8, 13, 18

$3,8,13,18$ ..., wir wissen, dass A (1) der erste Term 3 ist, und der Gemeinsame Unterschied D ist 5. Angenommen, Sie werden gebeten, den 100. Laufzeit in dieser Reihenfolge zu finden. Dann n = 100 und (n-1) = 99. Die vollständige explizite Formel mit den eingefüllten Daten ist dann

ein (100) Hat 3 + (99) (5)

$A (100) = 3 + (99) (5)$ . Dies vereinfacht auf 498, was der 100. Begriff dieser Reihenfolge ist.

Methode 4 von 4:

Verwenden der expliziten Formel, um zusätzliche Informationen zu finden

1. Ordnen Sie die explizite Formel neu an, um andere Variablen zu lösen. Mit der expliziten Formel und einer grundlegenden Algebra finden Sie mehrere Informationen zu einer arithmetischen Sequenz. In seiner ursprünglichen Form,

ein (n) Hat ein (1) + (n - 1) D

$a (n) = a (1) + (n-1) d$ , Die explizite Formel ist so konzipiert, dass sie für a gelöst werden_n und geben Sie den n-ten Begriff einer Sequenz. Sie können diese Formel jedoch algebraisch manipulieren und für einen der Variablen lösen.

Angenommen, Sie haben das Ende einer Liste der Zahlen, aber Sie müssen wissen, was der Beginn der Sequenz war. Sie können die Formel neu anordnen, um Sie zu geben $ein (1) Hat ein (n) - (n - 1) D$ ${ displaystyle a (1) = a (n) - (n-1) d}$
Wenn Sie den Startpunkt einer arithmetischen Sequenz und des Endpunkts kennen, müssen Sie jedoch wissen, wie viele Begriffe in der Liste sind, können Sie die explizite Formel neu anordnen, um sie zu lösen. Das wäre $n Hat ein (n) - ein (1) D + 1$ $n = { frac {a (n) -a (1)} {d}} + 1$ .
Wenn Sie die Grundregeln der Algebra überprüfen müssen, um dieses Ergebnis zu erstellen, überprüfen Sie Algebra lernen oder Vereinfachen Sie algebraische Ausdrücke.

Bildtitel Finden Sie einen bestimmten Begriff einer arithmetischen Sequenzschritte 13

2. Finden Sie den ersten Begriff einer Sequenz. Sie wissen vielleicht, dass der 50. Laufzeit einer arithmetischen Sequenz 300 ist, und Sie wissen, dass die Begriffe um 7 erhöht wurden (der "Common Differenz"), aber Sie möchten herausfinden, was der erste Begriff der Sequenz war. Verwenden Sie die überarbeitete explizite Formel, die sich für A1 löst, um Ihre Antwort zu finden.

Verwenden Sie die Gleichung

ein (1) Hat (n - 1) D - ein (n)

$A (1) = (N-1) D-A (N)$ , und füllen Sie die Informationen aus, die Sie kennen. Da Sie wissen, dass der 50. Begriff 300 ist, dann n = 50, n-1 = 49 und a (n) = 300. Sie erhalten auch, dass der gemeinsame Unterschied, d, 7 ist. Daher wird die Formel

ein (1) Hat (49) (7) - 300

$A (1) = (49) (7) -300$ . Das funktioniert

343 - 300 Hat 43

$343-300 = 43$ . Die Sequenz, die Sie bei 43 begonnen haben, und von 7 gezählt werden. Daher sieht es aus wie 43,50,57,64,71,78 ... 293.300.

Bildtitel Finden Sie einen bestimmten Begriff einer arithmetischen Sequenzschritt 14

3. Finden Sie die Länge einer Sequenz. Angenommen, Sie wissen alles über den Start und das Ende einer arithmetischen Sequenz, aber Sie müssen herausfinden, wie lange es ist. Verwenden Sie die überarbeitete Formel

n Hat ein (n) - ein (1) D + 1

$n = { frac {a (n) -a (1)} {d}} + 1$ .

Angenommen, Sie wissen, dass eine gegebene arithmetische Sequenz bei 100 beginnt und um 13 erhöht. Sie werden auch gesagt, dass der endgültige Begriff 2.856 ist. Um die Länge der Sequenz zu finden, verwenden Sie die Ausdrücke A1 = 100, D = 13 und A (n) = 2856. Setzen Sie diese Begriffe in die Formel ein, um zu geben

n Hat 2856 - 100 13 + 1

$n = { frac {2856-100} {13}} + 1$ . Wenn Sie das ausarbeiten, erhalten Sie

n Hat \frac{2756}{13} + 1

$n = { frac {2756} {13}} + 1$ , was 212 + 1 entspricht, was 213 ist. In dieser Reihenfolge gibt es 213 Begriffe.

Diese Beispielsequenz würde aussehen wie 100, 113, 126, 139 ... 2843, 2856.

Warnungen

Es gibt verschiedene Arten von Zahlenfolgen. Nehmen Sie nicht an, dass eine Liste von Zahlen eine arithmetische Reihenfolge ist. Überprüfen Sie immer mindestens zwei Paare von Begriffen oder vorzugsweise drei oder vier, um den gemeinsamen Unterschied zwischen den Begriffen zu finden.