So finden sie die inverse einer 3x3-matrix

Inverse Operationen werden häufig in Algebra verwendet, um zu vereinfachen, was sonst schwierig sein könnte. Wenn Sie beispielsweise ein Problem voraussetzt, dass Sie durch einen Bruchteil teilen müssen, können Sie sich einfacher von seinem wechselseitigen Multiplizieren multiplizieren. Dies ist ein inverser Betrieb. Da es keinen Abteilungsbetreiber für Matrizen gibt, müssen Sie von der inversen Matrix multiplizieren. Die Berechnung der inversen einer 3x3-Matrix von Hand ist ein langwieriger Job, aber es ist wert zu prüfen. Sie können auch die Inverse mit einem erweiterten Grafikrechner finden.

Schritte

Methode 1 von 3:
Erstellen der Adjugat-Matrix, um die inverse Matrix zu finden
  1. Bildtitel Finden Sie die Inverse einer 3x3-Matrix-Schritt 1
1. Überprüfen Sie die Determinante der Matrix. Sie müssen die Determinante der Matrix als Anfangsschritt berechnen. Wenn der Determinant 0 ist, ist Ihre Arbeit abgeschlossen, da die Matrix keine Inverse hat. Die Determinante von Matrix M kann symbolisch als det (m) dargestellt werden.
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    2. Um die ursprüngliche Matrix umsetzen. Umlaufmittel bedeutet, dass die Matrix um die Hauptdiagonale reflektiert, oder äquivaliert das Tauschen des (i, j) ten Elements und der (j, i) th. Wenn Sie die Bedingungen der Matrix umsetzen, sollten Sie sehen, dass die Hauptdiagonale (von oben links nach rechts unten rechts) unverändert ist.
  • Eine andere Möglichkeit, an die Umsetzung zu denken, ist, dass Sie die erste Zeile als erste Spalte neu schreiben, die mittlere Zeile wird zur mittleren Spalte, und die dritte Zeile wird zur dritten Spalte. Beachten Sie die farbigen Elemente in dem obigen Diagramm und sehen Sie, wo sich die Zahlen geändert haben.
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    3. Finden Sie die Determinante von jeder der 2x2-Minor-Matrizen. Jeder Artikel der neu transponierten 3x3-Matrix ist mit einer entsprechenden 2x2-Zoll-Matrix verbunden. Um die richtige kleinere Matrix für jeden Term zu finden, markieren Sie zunächst die Zeile und die Spalte des Begriffs, mit dem Sie beginnen. Dies sollte fünf Bedingungen der Matrix enthalten. Die restlichen vier Begriffe bilden die kleinere Matrix.
  • Wenn Sie in dem oben gezeigten Beispiel die kleinere Matrix des Begriffs in der zweiten Zeile, erste Spalte wünschen, legen Sie die fünf Begriffe auf, die sich in der zweiten Zeile und der ersten Spalte befinden. Die restlichen vier Begriffe sind die entsprechende kleinere Matrix.
  • Finden Sie die Determinante jeder kleineren Matrix, indem Sie die Diagonalen multiplizieren, und subtrahieren, wie gezeigt.
  • Weitere Informationen zu kleineren Matrizen und ihre Anwendungen sehen Sie Verstehe die Grundlagen von Matrizen.
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    4. Erstellen Sie die Matrix von Cofactors. Legen Sie die Ergebnisse des vorherigen Schritts in eine neue Matrix von Cofaktoren, indem Sie jede kleinere Matrix-Determinante mit der entsprechenden Position in der Originalmatrix ausrichten. Somit wird die Determinante, die Sie von Artikel (1,1) der Originalmatrix berechnet, in Position (1,1). Sie müssen dann das Anzeichen von alternierenden Bedingungen dieser neuen Matrix umkehren, folgen Sie dem "Schachbrettmuster".
  • Bei der Zuordnung von Schildern hält das erste Element der ersten Reihe sein Originalzeichen. Das zweite Element ist umgekehrt. Das dritte Element hält sein ursprüngliches Zeichen. Fahren Sie mit dem Rest der Matrix auf dieser Mode fort. Beachten Sie, dass die (+) oder (-) Anzeichen im Schachbrettdiagramm nicht darauf hindeutet, dass der endgültige Begriff positiv oder negativ sein sollte. Sie sind Indikatoren für das Halten (+) oder Umkehren (-), was die Anzahl der Zahl stammt.
  • Für eine Überprüfung von Cofactors finden Sie Verstehe die Grundlagen von Matrizen.
  • Das Endergebnis dieses Schritts wird als Adjugat-Matrix des Originals bezeichnet. Dies wird manchmal als Adjoint-Matrix bezeichnet. Die Adjugat-Matrix wird als adj (m) angegeben.
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    5. Teilen Sie jeden Begriff der Adjugenmatrix durch die Determinante auf. Erinnern Sie sich an die Determinante von M, die Sie im ersten Schritt berechnet haben (zu überprüfen, ob die Inverse möglich war). Sie teilen jetzt jeden Begriff der Matrix mit diesem Wert auf. Platzieren Sie das Ergebnis jeder Berechnung in den Punkt des ursprünglichen Begriffs. Das Ergebnis ist die Inverse der ursprünglichen Matrix.
  • Für die in dem Diagramm gezeigte Probenmatrix ist der Determinant 1. Daher ergibt sich der Teilen jedes Begriffs der Adjugenmatrix in der Adjugat-Matrix selbst. (Sie werden nicht immer so glücklich sein.)
  • Anstatt teilzunehmen, stellen einige Quellen diesen Schritt dar, um jeden Term von m von 1 / det (m) zu multiplizieren. Mathematisch sind dies gleichwertig.
    • Methode 2 von 3:
    Reduzierung der linearen Zeile, um die inverse Matrix zu finden
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    1. Anzeigen der Identitätsmatrix an der Originalmatrix. Schreiben Sie die Originalmatrix M aus, ziehen Sie eine vertikale Linie rechts davon, und schreibe dann die Identitätsmatrix rechts von dem. Sie sollten jetzt haben, was als Matrix mit jeweils drei Reihen von sechs Spalten ist.
    • Erinnern Sie sich daran, dass die Identitätsmatrix eine spezielle Matrix mit 1s in jeder Position der Hauptdiagonale von oben links bis unten rechts und 0s in allen anderen Positionen ist. Für eine Überprüfung der Identitätsmatrix und seiner Eigenschaften siehe Verstehe die Grundlagen von Matrizen.
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    2. Führen Sie lineare Zeilenreduzierungsvorgänge durch. Ihr Ziel ist es, die Identitätsmatrix auf der linken Seite dieser neu ergründeten Matrix zu erstellen. Wenn Sie auf der linken Seite der Zeilenreduzierungsschritte ausführen, müssen Sie dieselben Operationen auf der rechten Seite durchführen, die als Identitätsmatrix begann.
  • Denken Sie daran, dass Zeilenreduzierungen als Kombination aus Skalarvervielfachung und Zeilenzugabe oder Subtraktion durchgeführt werden, um die individuellen Bedingungen der Matrix zu isolieren. Eine vollständigere Überprüfung finden Sie unter Ruder-Reduziermatrizen.
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    3. Fahren Sie fort, bis Sie die Identitätsmatrix bilden. Wiederholen der Wiederholung des linearen Zeilenreduziervorgangs, bis die linke Seite Ihrer erweiterten Matrix die Identitätsmatrix (Diagonale von 1S, mit anderen Ausdrücken 0) anzeigt. Wenn Sie diesen Punkt erreicht haben, ist die rechte Seite Ihres vertikalen Teilers die inverse Ihrer ursprünglichen Matrix.
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    4. Schreiben Sie die inverse Matrix aus. Kopieren Sie die Elemente, die jetzt auf der rechten Seite des vertikalen Teilers erscheinen, als inverse Matrix.
    • Methode 3 von 3:
    Verwenden eines Rechners, um die inverse Matrix zu finden
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    1. Wählen Sie einen Taschenrechner mit Matrixfunktionen aus. Einfache 4-function-Taschenrechner können Ihnen nicht helfen, die Inverse direkt zu finden. Aufgrund der sich wiederholenden Art der Berechnungen kann jedoch ein fortschrittlicher Grafikrechner, beispielsweise die Texas-Instrumente TI-83 oder TI-86, die Arbeit erheblich reduzieren.
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    2. Geben Sie Ihre Matrix in den Rechner ein. Geben Sie zuerst die Matrixfunktion Ihres Rechners ein, indem Sie die Matrix-Taste drücken, wenn Sie einen haben. An den Texas Instruments-Rechnern müssen Sie möglicherweise 2 Matrix drücken.
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    3. Wählen Sie das Untermenü Bearbeiten. Um das Untermenü zu erreichen, müssen Sie möglicherweise die Pfeiltasten verwenden oder die entsprechende Funktionstaste oben in der Tastatur Ihres Rechners auswählen, abhängig von dem Layout Ihres Taschenrechners.
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    4. Wählen Sie einen Namen für Ihre Matrix aus. Die meisten Rechner sind für die Arbeit mit überall von 3 bis 10 Matrizen ausgestattet, die mit Buchstaben A bis J gekennzeichnet sind. Wählen Sie in der Regel [A], um mit der Arbeit zu arbeiten. Drücken Sie die Eingabetaste, nachdem Sie Ihre Auswahl getroffen haben.
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    5. Geben Sie die Abmessungen Ihrer Matrix ein. Dieser Artikel konzentriert sich auf 3x3-Matrizen. Der Rechner kann jedoch größere Größen abwickeln. Geben Sie die Anzahl der Zeilen ein und drücken Sie ENTER und dann die Anzahl der Spalten und geben Sie ein.
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    6. Geben Sie jedes Element der Matrix ein. Der Rechnerbildschirm zeigt eine Matrix. Wenn Sie zuvor mit der Matrixfunktion arbeiten, erscheint die vorherige Matrix auf dem Bildschirm. Der Cursor hebt das erste Element der Matrix hervor. Geben Sie den Wert der Matrix ein, die Sie lösen möchten, und geben Sie anschließend ein. Der Cursor bewegt sich automatisch zum nächsten Element der Matrix und überschreibt alle vorherigen Zahlen.
  • Wenn Sie eine negative Nummer eingeben möchten, verwenden Sie den negativen Knopf (-) und nicht den Minus-Schlüssel. Die Matrixfunktion las die Zahl nicht ordnungsgemäß.
  • Bei Bedarf können Sie die Pfeiltasten Ihrer Rechner verwenden, um die Matrix zu springen.
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    7. Beenden Sie die Matrixfunktion. Nachdem Sie alle Werte der Matrix eingegeben haben, drücken Sie die Kurzschlüssel (oder 2 aufgeben, falls erforderlich). Dadurch werden Sie von der Matrix-Funktion verlassen und Sie zum Hauptbildschirm Ihres Taschenrechners zurückgeben.
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    8. Verwenden Sie den inversen Schlüssel, um die inverse Matrix zu finden. Erste, öffnen Sie zunächst die Matrixfunktion und verwenden Sie die Schaltfläche Namen, um das Matrix-Label auszuwählen, mit dem Sie Ihre Matrix definiert haben (wahrscheinlich [A]). Drücken Sie dann den inversen Schlüssel Ihres Computers, X-1{ displaystyle x ^ {- 1}}x ^ {{- 1}}. Dies erfordert möglicherweise mit der Taste 2, abhängig von Ihrem Taschenrechner. Ihre Bildschirmanzeige sollte angezeigt werden EIN-1{ displaystyle a ^ {- 1}}A ^ {{- 1}}. Drücken Sie ENTER, und die inverse Matrix sollte auf Ihrem Bildschirm angezeigt werden.
  • Verwenden Sie nicht die Taste ^ auf Ihrem Rechner, um ein ^ -1 als separate Tastatureingaben einzugeben. Der Rechner wird diesen Vorgang nicht verstehen.
  • Wenn Sie eine Fehlermeldung erhalten, wenn Sie den inversen Schlüssel eingeben, sind die Chancen, dass Ihre ursprüngliche Matrix nicht invers ist. Möglicherweise möchten Sie zurückgehen und die Determinante berechnen, um herauszufinden.
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    9. Konvertieren Sie Ihre inverse Matrix in exakte Antworten. Die erste Berechnung, die der Taschenrechner Ihnen ergibt, ist in Dezimalform. Dies gilt für die meisten Zwecke nicht als "genau". Sie sollten nach Bedarf die Dezimalantworten auf fraktionale Form konvertieren. (Wenn Sie sehr viel Glück haben, werden alle Ihre Ergebnisse ganzgerechte sein, aber das ist selten.)
  • Ihr Rechner hat wahrscheinlich eine Funktion, die das Dezimalzahl automatisch auf Fraktionen umwandelt. Geben Sie beispielsweise mit dem TI-86 die Math-Funktion ein und wählen Sie "MISC" aus, und dann frac und geben Sie ein. Die Dezimalzahlen werden automatisch als Fraktionen angezeigt.
  • Bildtitel Berechnung Gesamtkosten Schritt 1
    10. Die meisten Grafik-Taschenrechner haben auch quadratische Halterungsschlüssel (auf TI-84 ist zwar 2nd + x und zweiter + -), mit dem Sie eine Matrix eingeben können, ohne die Matrixfunktion zu verwenden. HINWEIS: Der Rechner formatiert die Matrix nicht, bis der ENTER / Equal-Schlüssel verwendet wurde (i.E. Alles wird eine Linie sein und nicht hübsch).

    • Video

    Mit diesem Service können einige Informationen mit YouTube geteilt werden.

    Tipps

    Sie können diese Schritte folgen, um die Inverse einer Matrix zu finden, die nicht nur Zahlen enthält, sondern auch Variablen, Unbekannte oder sogar algebraische Ausdrücke.
  • Stellen Sie sicher, dass Ihr Ergebnis genau ist, welche Methode, die Sie wählen, von Multiplikation M von M. Sie sollten in der Lage sein, das m * m = m * m = i zu überprüfen. Ich bin die Identitätsmatrix, bestehend aus 1s entlang der Hauptdiagonale und 0s an anderer Stelle. Wenn nicht, haben Sie irgendwo einen Fehler gemacht.
  • Schreiben Sie alle Ihre Schritte auf, da es extrem schwierig ist, die Inverse einer 3x3-Matrix in Ihrem Kopf zu finden.
  • Computerprogramme bestehen, die die Invers der Matrizen für Sie, bis und einschließlich der Größe von 30x30 Matrizen.

    • Warnungen

    Nicht alle 3x3-Matrizen haben Invers. Wenn die Determinante der Matrix gleich 0 ist, ist es nicht inversen. (Beachten Sie, dass wir in der Formel mit det (m) teilen. Division um Null ist nicht definiert.)
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