3 Wege, um algebraische Gleichungen zu fördern

In Mathematik, Faktorierung ist der Akt des Findens der Zahlen oder Ausdrücke, die sich miteinander vermehren, um eine bestimmte Anzahl oder Gleichung zu erstellen. Factoring ist eine nützliche Fähigkeit, um den Zweck der Lösung grundlegender Algebra-Probleme zu lernen. Factoring kann verwendet werden, um algebraische Ausdrücke zu vereinfachen, um die Lösung einfacher zu machen. Factoring kann Ihnen sogar die Möglichkeit geben, bestimmte Antworten viel schneller zu beseitigen, als Sie manuell lösen könnten.

Schritte

Methode 1 von 3:

Factoring-Nummern und grundlegende algebraische Ausdrücke

1. Verstehen Sie die Definition von Factoring, wenn Sie auf einzelne Zahlen angewendet werden. Das Factoring ist konzeptionell einfach, kann jedoch in der Praxis eine Herausforderung erweisen, wenn sie auf komplexe Gleichungen angewendet werden. Aus diesem Grund ist es am einfachsten, sich dem Begriff des Factorings zu nähern, indem Sie mit einfachen Zahlen beginnen und dann auf einfache Gleichungen weitergehen, bevor er endlich zu fortgeschrittenen Anwendungen weiterläuft. Eine gegebene Anzahl Faktoren sind die Zahlen, die sich vermehren, um diese Nummer zu geben. Zum Beispiel sind die Faktoren von 12 1, 12, 2, 6, 3 und 4, da 1 × 12, 2 × 6 und 3 × 4 alle gleich 12 sind.

Ein anderer Weg, um darüber nachzudenken, ist, dass die Faktoren eines bestimmten Nummern die Zahlen sind, nach denen es ist ganzzahlig teilbar.
Können Sie alle Faktoren der Zahl 60 finden?? Wir verwenden die Nummer 60 für eine Vielzahl von Zwecken (Minuten in einer Stunde, Sekunden in einer Minute usw.) weil es von einem ziemlich großen Anzahl von Zahlen gleichmäßig teilbar ist.

Die Faktoren von 60 sind 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 und 60.

Bild mit dem Titel Faktor algebraische Gleichungen Schritt 2

2. Verstehen, dass variable Ausdrücke auch fakturiert werden können. So wie einsame Zahlen faktoriert werden können, können auch Variablen mit numerischen Koeffizienten fakturiert werden. Finden Sie dazu einfach die Faktoren des Koeffizienten des Variablens. Wenn Sie wissen, wie Sie die Variablen faktorisieren, ist nützlich, um algebraische Gleichungen zu vereinfachen, dass die Variablen ein Teil von sind.

Zum Beispiel kann die Variable 12x als Produkt der Faktoren von 12 und X geschrieben werden. Wir können 12x als 3 (4x), 2 (6x), usw., Die Verwendung der beiden Faktoren von 12 sind für unsere Zwecke am besten.

Wir können sogar so weit wie ein Faktor 12x gehen mehrmals. Mit anderen Worten, wir müssen nicht mit 3 (4 ×) oder 2 (6 ×) anhalten - wir können 4x und 6x faktoren, um 3 (2 (2 ×) und 2 (3 (2 ×) zu ergeben. Natürlich sind diese beiden Ausdrücke gleich.

Bild mit dem Titel Faktor algebraische Gleichungen Schritt 3

3. Wenden Sie die vertriebsfreie Eigenschaft der Multiplikation an, um algebraische Gleichungen zu fördern. Verwenden Sie Ihr Wissen, wie Sie sowohl einsame Zahlen als auch von Variablen mit Koeffizienten fördern, können Sie einfache algebraische Gleichungen vereinfachen, indem Sie Faktoren finden, dass die Zahlen und Variablen in einer algebraischen Gleichung gemeinsam haben. Um die Gleichung in der Regel so einfach wie möglich zu gestalten, versuchen wir nach der größter gemeinsamer Teiler. Dieser Vereinfachungsprozess ist aufgrund der vertriebsfreien Eigenschaft der Multiplikation möglich, der dies für jede Zahlen A, B und C angibt, A (B + C) = AB + AC.

Lass uns ein Beispiel probieren. Um die algebraische Gleichung 12 x + 6 zu fördern, versuchen Sie zunächst, den größten CommonFactor von 12x und 6 zu finden. 6 ist die größte Anzahl, die gleichmäßig in 12x und 6 teilt, sodass wir die Gleichung auf 6 (2x + 1) vereinfachen können.

Dieser Prozess gilt auch für Gleichungen mit Negativen und Fraktionen. X / 2 + 4 kann beispielsweise auf 1/2 (x + 8) vereinfacht werden, und -7x + -21 kann auf -7 (x + 3) faktoriert werden.

Methode 2 von 3:

Factoring quadratische Gleichungen

1. Stellen Sie sicher, dass die Gleichung in quadratischer Form ist (AX + BX + C = 0). Quadratische Gleichungen sind von der Form AX + BX + C = 0, wobei A, B und C numerische Konstanten sind und A nicht gleich 0 (beachten Sie, dass a können gleich 1 oder -1). Wenn Sie eine Gleichung mit einer Variablen (X) enthalten, die ein oder mehrere Bedingungen von X auf die zweite Leistung aufweist, können Sie normalerweise die Begriffe in der Gleichung mithilfe von basischen algebraischen Operationen umsetzen, um 0 auf einer Seite von Gleichstromzeichen und Axt zu erhalten, usw. auf der anderen Seite.

Betrachten wir zum Beispiel die algebraische Gleichung. 5x + 7x - 9 = 4x + x - 18 kann auf x + 6x + 9 = 0 vereinfacht werden, was sich in der quadratischen Form befindet.
Gleichungen mit größeren Befugnissen von X, wie x, x usw. kann nicht quadratische Gleichungen sein. Sie sind kubische Gleichungen, Quartiergleichungen usw., es sei denn, die Gleichung kann nicht vereinfacht werden, um diese Bestimmungen von X über der Leistung von 2 zu beseitigen.

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2. In quadratischen Gleichungen, wobei a = 1, Faktor (x + d) (x + e), wobei d × e = c und d + e = b. Wenn Ihre quadratische Gleichung in der Form X + BX + C = 0 ist (mit anderen Worten, wenn der Koeffizient des X-Terms = 1) ist, ist es möglich (jedoch nicht garantiert), dass eine relativ einfache Verknüpfung zum Faktor verwendet werden kann Gleichung. Finden Sie zwei Zahlen, die beide multiplizieren, um c zu erstellen und Zum Herstellen b hinzufügen. Sobald Sie diese beiden Zahlen D und E gefunden haben, platzieren Sie sie in den folgenden Ausdruck: (x + d) (x + e). Diese beiden Begriffe produzieren, wenn sie zusammen multipliziert werden, Ihre quadratische Gleichung - mit anderen Worten, sie sind Ihre Faktoren Ihrer quadratischen Gleichung.

Betrachten wir zum Beispiel die quadratische Gleichung x + 5x + 6 = 0. 3 und 2 multiplizieren Sie zusammen, um 6 zu machen, und fügen Sie auch 5 hinzu, damit wir diese Gleichung an (x + 3) (x + 2) vereinfachen können (x + 2).

Es gibt leichte Variationen dieser Grundkombination für leichte Variationen der Gleichung selbst:

Wenn sich die quadratische Gleichung im Formular X-BX + C befindet, ist Ihre Antwort in diesem Formular: (x - _) (x - _).

Wenn es sich in dem Formular X + BX + C befindet, sieht Ihre Antwort so aus: (x + _) (x + _).

Wenn es sich in dem Formular X-BX-C befindet, ist Ihre Antwort in der Form (x + _) (x - _).

HINWEIS: Die Zahlen in den Rohlingen können Fraktionen oder Dezimalzahlen sein. Beispielsweise die Gleichung x + (21/2) x + 5 = 0 Faktoren zu (x + 10) (x + 1/2).

Bild mit dem Titel Faktor Algebraic Gleichungen Schritt 6

3. Wenn möglich, Faktor durch Inspektion. Ich glaube es oder nicht, für unkomplizierte quadratische Gleichungen, ein der akzeptierten Mittel des Factorings ist einfach, das Problem zu untersuchen, und berücksichtigen Sie dann einfach mögliche Antworten, bis Sie das Richtige finden. Dies ist auch als Factoring durch Inspektion bekannt. Wenn die Gleichung in der Form AX + BX + C und A ist>1, Ihre faktorierte Antwort wird in der Form (DX +/- _) (ex +/- _) sein, wobei D und E ungleich Null-Konstanten sind, die sich multiplizieren, um a zu machen. Entweder d oder e (oder beide) können Sei die Nummer 1, obwohl dies nicht unbedingt so ist. Wenn beide 1 sind, haben Sie im Wesentlichen die oben beschriebene Verknüpfung verwendet.

Betrachten wir ein Beispielproblem. 3x - 8x + 4 erscheint zunächst einschüchternd. Sobald wir uns erkennen, dass 3 nur zwei Faktoren (3 und 1) hat, wird es einfacher, da wir wissen, dass unsere Antwort im Formular (3x +/- _) (x +/- _) sein muss (x +/- _). In diesem Fall gibt das Hinzufügen eines -2 an beide Leerzeichen die richtige Antwort. -2 × 3x = -6x und -2 × x = -2x. -6x und -2x Zu -8x hinzufügen. -2 × -2 = 4, also können wir sehen, dass die berücksichtigten Begriffe in Klammern multiplizieren, um die ursprüngliche Gleichung zu werden.

Bild mit dem Titel Faktor algebraische Gleichungen Schritt 7

4. Lösen Sie, indem Sie das Quadrat abschließen. In einigen Fällen können quadratische Gleichungen mit einer speziellen algebraischen Identität schnell und einfach beruhigt werden. Jede quadratische Gleichung des Formulars x + 2xh + h = (x + h). Wenn also in Ihrer Gleichung Ihr B-Wert doppelt der Quadratwurzel Ihres C-Werts ist, kann Ihre Gleichung an (x + (sqrt (c)) faktoriert werden.).

Zum Beispiel passt die Gleichung x + 6x + 9 zu diesem Formular. 3 ist 9 und 3 × 2 ist 6. Wir wissen also, dass die faktorierte Form dieser Gleichung (x + 3) (x + 3) oder (x + 3) ist.

Bild mit dem Titel Faktor algebraische Gleichungen Schritt 8

5. Verwenden Sie Faktoren, um quadratische Gleichungen zu lösen. Unabhängig davon, wie Sie Ihren quadratischen Ausdruck berücksichtigen, können Sie nach der Faktorierung mögliche Antworten auf den Wert von X finden, indem Sie jeden Faktor, der Null und der Lösung entspricht, einstellen. Da Sie nach Werten von X suchen, in der Ihre Gleichung gleich Null bewirken, ist ein Wert von X, der entweder Ihrer Faktoren gleich Null macht, eine mögliche Antwort für Ihre quadratische Gleichung.

Lassen Sie uns in die Gleichung x + 5x + 6 = 0 zurückkehren. Diese Gleichung faktoriert nach (x + 3) (x + 2) = 0. Wenn eine der Faktoren gleich 0 entspricht, ist die gesamte Gleichung gleich 0, so dass unsere möglichen Antworten für X die Zahlen sind, die (x + 3) und (x + 2) gleich 0 sind. Diese Zahlen sind -3 bzw. -2.

Bild mit dem Titel Faktor algebraische Gleichungen Schritt 9

6. Überprüfen Sie Ihre Antworten - einige von ihnen können fremde sein! Wenn Sie Ihre möglichen Antworten für X gefunden haben, schließen Sie sie wieder an Ihre ursprüngliche Gleichung an, um zu sehen, ob sie gültig sind. Manchmal finden die Antworten, die Sie finden nicht bewirken, dass die ursprüngliche Gleichung gleich Null ist, wenn Sie in eingesteckt werden. Wir nennen diese Antworten fremde und ignorieren sie.

Lassen Sie uns -2 und -3 in EX + 5x + 6 = 0 stecken. Erster, -2:

(-2) + 5 (-2) + 6 = 0

4 + -10 + 6 = 0

0 = 0. Das ist richtig, also ist -2 eine gültige Antwort.

Nun, lass uns versuchen -3:

(-3) + 5 (-3) + 6 = 0

9 + -15 + 6 = 0

0 = 0. Dies ist auch richtig, so -3 ist auch eine gültige Antwort.

Methode 3 von 3:

Factoring andere Formen der Gleichungen

1. Wenn sich die Gleichung in der Form A-B befindet, faktorieren Sie ihn auf (A + B) (A-B). Gleichungen mit zwei Variablenfaktor anders als Grundquadratik. Für jede Gleichung A-B, wobei A und B nicht gleich 0 sind, die Gleichungsfaktoren zu (A + B) (A-B).

Zum Beispiel die Gleichung 9x - 4Y = (3x + 2Y) (3x - 2Y).

Bild mit dem Titel Faktor algebraische Gleichungen Schritt 11

2. Wenn die Gleichung in der Form A + 2AB + B ist, faktorieren Sie ihn auf (A + B). Beachten Sie, dass, wenn das Trinomial in der Form a ist-2AB + B, das faktorierte Formular ist etwas anders: (A-B).

Die Gleichung 4x + 8xy + 4Y kann als 4x + (2 × 2 × 2) XY + 4Y wiedergeschrieben werden. Wir können jetzt sehen, dass es in der richtigen Form ist, also können wir mit Zuversicht sagen, dass unsere Gleichungsfaktoren (2x + 2Y)

Bild mit dem Titel Faktor algebraische Gleichungen Schritt 12

3. Wenn sich die Gleichung in der Form A-B befindet, faktorieren Sie ihn auf (A-B) (A + AB + B). Schließlich ertönt es, dass Cubics und sogar Gleichungen höherer Ordnung fakturiert werden können, obwohl der Factoring-Prozess schnell verbessert wird.

Zum Beispiel 8x - 27Y Faktoren (2x - 3Y) (4x + ((2x) (3Y)) + 9Y)

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Tipps

A-B ist faktorierbar, a + b ist nicht faktorierbar.

Denken Sie daran, wie Sie Konstanten fördern - es könnte helfen.

Hüten Sie sich vor Fraktionen im Factoring-Prozess auf und arbeiten Sie korrekt und sorgfältig mit ihnen.

Wenn Sie ein Trinomial in der Form X + BX + (B / 2) haben, ist das faktorierte Formular (X + (B / 2)). (Sie können diese Situation beim Abschluss des Platzes haben.)

Denken Sie daran, dass A0 = 0 (Nullprodukteigenschaft).