So finden sie den bereich eines regulären pentagons

Ein Pentagon ist ein Polygon mit fünf geraden Seiten. Fast alle Probleme, die Sie in der Mathematikunterricht finden, decken regelmäßige Pentagons mit fünf gleichen Seiten ab. Es gibt zwei gemeinsame Möglichkeiten, den Bereich zu finden, je nachdem, wie viele Informationen Sie haben.

Schritte

Methode 1 von 3:
Finden Sie den Bereich von der Seitenlänge und der Apothem
  1. Bildtitel Finden Sie den Bereich eines regulären Pentagon-Schritts 1
1. Beginnen Sie mit der Seitenlänge und der Apothem. Diese Methode arbeitet für normale Pentagons mit fünf gleichen Seiten. Neben der Seitenlänge benötigen Sie das "Apothema" des Pentagons. Die Apotheme ist die Linie von der Mitte des Pentagons zu einer Seite, die die Seite in einem rechten 90 ° -Winsel kreuzt.
  • Verwechseln Sie die Apotheme nicht mit dem Radius, der eine Ecke (Scheitelpunkt) anstelle eines Mittelpunkts berührt. Wenn Sie nur die Seitenlänge und den Radius kennen, überspringen Sie stattdessen zur nächsten Methode.
  • Wir verwenden ein Beispiel Pentagon mit seitlicher Länge 3 Einheiten und Apothem 2 Einheiten.
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    2. Teilen Sie das Pentagon in fünf Dreiecke. Zeichne fünf Zeilen aus der Mitte des Pentagon, was zu jedem Scheitelpunkt (Ecke) führt. Sie haben jetzt fünf Dreiecke.
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    3. Berechnen Sie den Bereich eines Dreiecks. Jedes Dreieck hat ein Base gleich der Seite des Pentagon. Es hat auch eine Höhe gleich der Apothem des Pentagon. (Denken Sie daran, die Höhe eines Dreiecks verläuft von einem Scheitelpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite, rechtwinklig.) Um den Bereich jedes Dreiecks zu finden, berechnen Sie einfach ½ x Base x Höhe.
  • In unserem Beispiel Bereich des Dreiecks = ½ x 3 x 2 = 3 quadratische Einheiten.
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    4. Multiplizieren Sie mit fünf, um die Gesamtfläche zu finden. Wir haben das Pentagon in fünf gleiche Dreiecke geteilt. Um den Gesamtbereich zu finden, multiplizieren Sie einfach die Fläche eines Dreiecks um fünf.
  • In unserem Beispiel A (Total Pentagon) = 5 x A (Dreieck) = 5 x 3 = fünfzehn quadratische Einheiten.
    • Methode 2 von 3:
    Den Bereich von der Seitenlänge finden
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    1. Beginnen Sie mit nur der Seitenlänge. Diese Methode arbeitet nur für regelmäßige Pentagons, die fünf Seiten gleicher Länge haben.
    • In diesem Beispiel verwenden wir ein Pentagon mit seitlicher Länge 7 Einheiten.
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    2. Teilen Sie das Pentagon in fünf Dreiecke. Zeichnen Sie eine Linie von der Mitte des Pentagons an einen beliebigen Scheitelpunkt. Wiederholen Sie dies für jeden Vertex. Sie haben jetzt fünf Dreiecke, jede gleich groß.
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    3. Teilen Sie ein Dreieck in der Hälfte. Zeichnen Sie eine Linie von der Mitte des Pentagon an die Basis eines Dreiecks. Diese Zeile sollte in einem rechten Winkel von 90 ° treffen und das Dreieck in zwei gleiche, kleinere Dreiecke teilen.
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    4. Beschriften Sie eines der kleineren Dreiecke. Wir können bereits eine Seite kennzeichnen und ein Winkel des kleineren Dreiecks:
  • Das Base des Dreiecks ist ½ der Seite des Pentagons. In unserem Beispiel ist dies ½ x 7 = 3.5 Einheiten.
  • Das Winkel Am Pentagon`s Center befindet sich immer 36º. (Beginnend mit einem vollen 360º-Zentrum könnten Sie es in 10 dieser kleineren Dreiecke teilen. 360 ÷ 10 = 36, so dass der Winkel bei einem Dreieck 36º beträgt.)
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    5. Berechnen Sie die Höhe des Dreiecks. Das Höhe dieses Dreiecks ist die Seite rechtwinklig zum Pentagon-Rand, der zum Zentrum führt. Wir können benutzen Beginn Trigonometrie Um die Länge dieser Seite zu finden:
  • In einem rechtwinkligen Dreieck, der Tangente eines Winkels entspricht der Länge der gegenüberliegenden Seite, geteilt durch die Länge der benachbarten Seite.
  • Die Seite gegenüber dem 36º-Winkel ist die Basis des Dreiecks (die Hälfte der Seite des Pentagons). Die an den 36º-Winkel angrenzende Seite ist die Höhe des Dreiecks.
  • Tan (36º) = gegenüber / angrenzend
  • In unserem Beispiel tan (36º) = 3.5 / Höhe
  • Höhe x Tan (36º) = 3.5
  • Höhe = 3.5 / Tan (36º)
  • Höhe = (ungefähr) 4.8 Einheiten.
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    Finden Sie den Bereich des Dreiecks. Ein Dreiecksbereich entspricht ½ der Basis x die Höhe. (A = ½bh.) Nun, da Sie die Höhe kennen, stecken Sie diese Werte ein, um den Bereich Ihres kleinen Dreiecks zu finden.
  • In unserem Beispiel Bereich des kleinen Dreiecks = ½bh = ½ (3.5) (4.8) = 8.4 quadratische Einheiten.
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    7. Multiplizieren Sie, um den Bereich des Pentagon zu finden. Eine dieser kleineren Dreiecke umfasst 1/10 des Pentagon-Bereichs. Um den Gesamtbereich zu finden, multiplizieren Sie den Bereich des kleineren Dreiecks um 10.
  • In unserem Beispiel ist der Bereich des gesamten Pentagon = 8.4 x 10 = 84 quadratische Einheiten.
    • Methode 3 von 3:
    Mit einer Formel
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    1. Verwenden Sie den Umkreis und die Apothem. Die Apotheme ist eine Linie von der Mitte eines Pentagon, das in einem rechten Winkel eine Seite trifft. Wenn Sie seine Länge erhalten, können Sie diese einfache Formel verwenden
    • Bereich eines regulären Pentagons = Pa/ 2, wo P = der Umfang und ein = die Apothem.
    • Wenn Sie den Umkreis nicht kennen, berechnen Sie ihn von der Seitenlänge: p = 5s, wobei S die Seitenlänge ist.
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    2. Verwenden Sie die Seitenlänge. Wenn Sie nur die Seitenlänge kennen, verwenden Sie die folgende Formel:
  • Bereich eines regulären Pentagons = (5S) / (4TAN (36º)), wo S = Seitenlänge.
  • Tan (36º) = √ (5-2√5). Wenn also Ihr Taschenrechner keine hat "bräunen" Funktion, verwenden Sie den Formelbereich = (5S) / (4√ (5-2√5)).
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    3. Wählen Sie eine Formel, die nur den Radius verwendet. Sie können sogar den Bereich finden, wenn Sie nur den Radius kennen. Verwenden Sie diese Formel:
  • Bereich eines regulären Pentagons = (5/2)RSin (72º), wo R ist der Radius.

    • Video

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    Tipps

    Die hier angegebenen Beispiele verwenden abgerundete Werte, um den Mathematik einfacher zu machen. Wenn Sie ein echtes Polygon mit der angegebenen Seitenlänge messen, erhalten Sie etwas andere Ergebnisse für die anderen Längen und den Bereich.
  • Unregelmäßige Pentagons oder Pentagons mit ungleichen Seiten, sind schwieriger zu studieren. Der beste Ansatz ist in der Regel, das Pentagon in Dreiecke zu teilen und die Fläche jedes Dreiecks hinzuzufügen. Möglicherweise müssen Sie auch eine größere Form um das Pentagon ziehen, seine Fläche berechnen und den Bereich des zusätzlichen Raums subtrahieren.
  • Verwenden Sie nach Möglichkeit sowohl eine geometrische Methode als auch ein Formelverfahren und vergleichen Sie die Ergebnisse, um zu bestätigen, dass Sie die richtige Antwort haben. Sie können etwas anderes Antworten erhalten, wenn Sie die Formel auf einmal eingeben (da Sie nicht auf dem Weg herumrunden), aber sie sollten sehr nahe sein.
  • Die Formeln stammen aus geometrischen Methoden, ähnlich den hier beschriebenen. Sehen Sie, ob Sie herausfinden können, wie Sie mit ihnen kommen können. Die Formel aus dem Radius ist schwieriger, abzuleiten als die anderen (Hinweis: Sie brauchen die doppelte Winkelidentität).
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